2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第6讲简单的三角恒等变换习题A组基础巩固一、选择题1．cos4－sin4等于()A．0B.C．1D．－[答案]B[解析]cos4－sin4＝(cos2＋sin2)·(cos2－sin2)＝cos＝.2．已知sinα＝，则cos(π－2α)＝()A．－B.－C.D．[答案]B[解析]依题意得cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－，选B.3．设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝()A．－B.－C.D．[答案]A[解析]sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.4．若＝－，则sinα＋cosα的值为()A．－B.－C.D．[答案]C[解析]＝＝＝－2cos(－α)＝－2(sinα＋cosα)＝－(sinα＋cosα)＝－.所以sinα＋cosα＝.5．已知f(x)＝2tanx－，则f()的值为()A．4B.C．4D．8[答案]D[解析]∵f(x)＝2(tanx＋)＝2×(＋)＝2×＝，∴f()＝＝8.6．(2015·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin(2θ＋)的值为()A．－B.C．－D．[答案]D[解析]由三角函数的定义得tanθ＝2，cosθ＝±，所以tan2θ＝＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin2θ＝cos2θtan2θ＝，所以sin(2θ＋)＝(sin2θ＋cos2θ)＝×(－)＝，故选D.二、填空题7．若sin(x－π)cos(x－)＝－，则cos4x＝________.[答案][解析]∵sin(x－π)＝－cos(＋x－π)＝－cos(x－)，∴cos2(x－)＝，∴＝.∴cos(2x－)＝－，即sin2x＝－.∴cos4x＝1－2sin22x＝.8.＝________.[答案]－4[解析]原式＝＝＝＝＝＝－4.9．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________.[答案][解析]∵α为锐角，cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝，∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－)＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝.10．(2015·浙江)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.[答案]π[π＋kπ，π＋kπ](k∈Z)[解析]由题意知，f(x)＝sin(2x－)＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．三、解答题11．已知函数f(x)＝cos(x－)，x∈R.(1)求f(－)的值；(2)若cosθ＝，θ∈(，2π)，求f(2θ＋)的值．[答案](1)1(2)[解析](1)f(－)＝cos(－－)＝cos(－)＝1.(2)∵cosθ＝，且θ∈(，2π)，∴sinθ＝－.∴f(2θ＋)＝cos(2θ＋－)＝cos(2θ＋)＝cos2θ－sin2θ＝2cos2θ－1－2sinθcosθ＝.12．已知α∈(，π)，sinα＝.(1)求sin(＋α)的值；(2)求cos(－2α)的值．[答案](1)－(2)－[解析](1)因为α∈(，π)，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin(＋α)＝sincosα＋cossinα＝×(－)＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，所以cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α＝(－)×＋×(－)，＝－.B组能力提升1．若α∈(，π)，且3cos2α＝sin(－α)，则sin2α的值为()A.B.－C.D．－[答案]D[解析]cos2α＝sin(－2α)＝sin[2(－α)]＝2sin(－α)cos(－α)代入原式，得6sin(－α)cos(－α)＝sin(－α)，∵α∈(，π)，∴cos(－α)＝，∴sin2α＝cos(－2α)＝2cos2(－α)－1＝－.2．(2015·重庆一中一诊模拟)sin410°＋sin450°＋sin470°＝()A．1B.C.D．[答案]B[解析]原式＝sin410°＋sin4(60°－10°)＋sin4(60°＋10°)＝sin410°＋(cos10°－sin10°)4＋(cos10°＋sin10°)4＝sin410°＋2(cos410°＋cos210°sin210°＋sin410°)＝cos410°＋cos210°sin210°＋sin410°＝(cos410°＋2cos210°sin210°＋sin410°)＝(cos210°＋sin210°)2＝，故选B.3．化简：＝________.[答案]cosx[解析]原式＝＝＝＝cos2x.4．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f()的值；(2)若sinα＝，且α∈(，π)，求f(＋)．[答案](1)(2)[解析](1)f()＝cos2＋sincos＝()2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin(2x＋)．所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)＝＋sin(α＋)＝＋(sinα＋cosα)，又因为sinα＝，且α∈(，π)，所以cosα＝－，所以f(＋)＝＋(×－×)＝.5．(2015·山东日照月考)已知函数f(x)＝2asinωxcosωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程；(2)若f(α)＝，求sin(4α＋)的值．[答案](1)f(x)＝2sin(2x＋)，x＝＋(k∈Z)(2)－[解析](1)f(x)＝asin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.由题意知，f(x)的最小正周期为π，由＝π，知ω＝1.由f(x)的最大值为2，得＝2，又a＞0，∴a＝1，∴cosφ＝，sinφ＝，∴φ＝，∴f(x)＝2sin(2x＋)．令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)由f(α)＝，知2sin(2α＋)＝，即sin(2α＋)＝，∴sin(4α＋)＝sin[2(2α＋)－]＝－cos2(2α＋)＝－1＋2sin2(2α＋)＝－1＋2×()2＝－.
