第二章平面向量章末测试时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是()A．向量AB与BA是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行答案：C解析：利用向量的概念进行判定．2．向量a，b反向，下列等式成立的是()A．|a－b|＝|a|－|b|B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．|a|＋|b|＝|a－b|D．|a＋b|＝|a－b|答案：C解析：当a，b反向时，由向量加法或减法的几何意义可知，|a－b|＝|a|＋|b|.3．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为()A．c＝4a＋bB．c＝a＋4bC．c＝4bD．c＝a－4b答案：B解析：设c＝xa＋yb，则(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，所以－x＋y＝3且2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.所以c＝a＋4b.4．已知平面内三点A(－1,0)、B(5,6)、P(3,4)，则AP·BP等于()A．0B．－16C．16D．8答案：B解析：AP＝(4,4)，BP＝(－2，－2)，所以AP·BP＝－16.5．向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)上的射影为()A.B．－C.D．－答案：C解析：由a·b＝|a||b|cosθ，得|a|cosθ＝＝＝.6．已知a＝(3，)，b＝＝(－，cosα)，a∥b且0°＜α＜180°，则α等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析： a∥b，∴3cosα＝－，∴cosα＝－，又0＜α＜π，∴α＝120°.7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于()A.B.C.D.答案：D解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)， (a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝.8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝， (a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°， a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.9．在边长为1的正方形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于()A．1B.C．2D.答案：C解析：先求模的平方．10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中x，y，分别为原点O到两个顶点的向量．若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为ax＋by的形式，则a＋b的最大值为()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：要求a＋b的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1) OA＝x，∴(a，b)＝(1,0)；(2) OB＝OF＋FB＝y＋3x，∴(a，b)＝(3,1)；(3) OC＝OF＋FC＝y＋2x，∴(a，b)＝(1,2)；(4) OD＝OF＋FE＋ED＝y＋x＋OC＝y＋x＋(y＋2x)＝2y＋3x，∴(a，b)＝(3,2)；(5) OE＝OF＋FE＝y＋x，∴(a，b)＝(1,1)；(6) OF＝y，∴(a，b)＝(0,1)．∴a＋b的最大值为3＋2＝5.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知向量a，b满足|a|＝2011，|b|＝4，且a·b＝4022，则a与b的夹角为________．答案：解析：设a与b的夹角为θ，由夹角余弦公式cosθ＝＝＝，解得θ＝.12．已知向量a＝(1，t)，b＝(－1，t).2a－b与b垂直，则|a|＝________.答案：2解析：由(2a－b)·b＝0，可得t＝±，所以|a|＝＝2.13．如右图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________.答案：－解析：根据向量的加减法法则有：BC＝AC－AB，AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB，此时AD·BC＝(AC＋AB)(AC－AB)＝|AC|2＋AC·AB－|AB|2＝－×1××－×2＝－.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知点A、B、C的坐标分别为A(，2)、B(0,3)、C(－，sinα)，α∈(，)．若AB|＝|BC|，求角α的值．解： AB＝(－，1)，BC＝(－，sinα－3)∴|AB|＝，|BC|＝由|BC|＝|AB|得sinα＝.又 α∈(，)，∴α＝.15．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a＋2b)(2a－b)；(2)|4a－2b|.解：(1)(a＋2b)·(2...
