课时作业36数列的综合应用一、选择题1．已知数列{an}，则“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：数列{an}为递增数列⇔an＋1>an，n∈N*.又an>an－1，∴an＋1>an－1；由an＋1>an－1⇒/an＋1>an.故选B.答案：B2．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋，当q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3；当q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1.∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.答案：D3．数列{an}的通项公式为an＝，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析： an＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝，令＝，得n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0，其在y轴上的截距为－9.答案：B4．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均错解析：由题意知，tanA＝＝>0， tan3B＝＝8，∴tanB＝2>0， A、B均为锐角．又 tan(A＋B)＝＝－<0，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．答案：B5．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．(0，1)B.C．(2，3)D．(1，3)解析：因为{an}是递增数列，所以解得≤a<3，所以实数a的取值范围是.答案：B6．(2016·吉林省吉林市质检)已知等比数列{an}的公比q>0且q≠1，又a6<0，则()A．a5＋a7>a4＋a8B．a5＋a7
|a4＋a8|解析：因为数列{an}是等比数列，所以a5＋a7＝＋a6q＝a6，a4＋a8＝＋a6q2＝a6，所以(a5＋a7)－(a4＋a8)＝a6－a6＝a6＝a6＝a6(q－1)＝－a6(q－1)2，又因为a6<0，q>0且q≠1，所以－a6(q－1)2·>0，即a5＋a7>a4＋a8，故选A.答案：A二、填空题7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．解析：由题意知a＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.答案：28．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________．解析：依题意得，函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程是y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：219．(2016·吉林实验中学一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17>0，S18<0，则，，…，(n∈N*，n≤18)中最大的项是________．解析： S17＝17a9>0，∴a9>0. S18＝9(a9＋a10)<0，∴a10<0.S1S10>S11>…>S17>0>S18，a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…>a17>a18，∴0<<<<…<＝＝，＝，－>0，∴，，，，…，(n∈N*，n≤18)中最大项是.答案：三、解答题10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．解：(1) an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即＝2.∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1，Sn＝2n－1，设{bn}的公差为d，b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)cn＝＝＝，∴Tn＝＝＝， n∈N*，∴Tn＝<，又Tn－Tn－1＝－＝>0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn<.11．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解：(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．(2)...
