高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 数列（4） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

数列(4)1．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解析：(1)解：设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)解：由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.2．[2019·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1＝1，＝，设bn＝·an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求{an}的前n项积Tn.解析：(1)因为＝＝·＝·＝4，b1＝2a1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列．(2)由(1)知bn＝·an＝2·4n－1，则an＝·22n－1.从而Tn＝·21＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.3．[2019·辽宁鞍山月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＝4,2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.解析：(1)∵2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an，∴2an＋1－an＋1＝3an，∴an＋1＝3an(n∈N*)，∵a1＋a2＝4，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.(2)由(1)知Sn＝.∵bn＝，∴bn＝＝－，∴Tn＝＋＋…＋＝－.∵n∈N*，所以－∈，∴≤－<，即≤Tn<.4．[2019·湖南衡阳联考]已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}均是等比数列；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝λ＋μ，求λ－μ的值．解析：(1)依题意得两式相加，得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)，∴{an＋bn}为等比数列；两式相减，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)，∴{an－bn}为等比数列．(2)∵a1＝1，b1＝，∴a1＋b1＝，a1－b1＝.由(1)可得an＋bn＝×n－1①，an－bn＝×n－1②.①＋②，得an＝n＋n，∴Sn＝＋＝×＋3×＝－×－3×n.又Sn＝λ＋μ＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝－3，∴λ－μ＝.5．[2019·河南洛阳孟津二中月考]在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，a1＝1.(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{3an－1}的前n项和Sn.解析：(1)由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1，∴b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，bn＝＝n，∴an＝n·2n－1,3an－1＝3n·2n－1－1.∴Sn＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n－1)×2n－2＋3n×2n－1－n，两边同时乘以2，得2Sn＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n－1)×2n－1＋3n×2n－2n，两式相减，得－Sn＝3×(1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n)＋n＝3×(2n－1－n×2n)＋n＝3(1－n)2n－3＋n，∴Sn＝3(n－1)2n＋3－n.6．[2019·河北九校第二次联考]已知数列{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由题意知2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，(※)当n＝1时，由(※)式可得S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入(※)式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，整理得S－S＝1.所以{S}是首项为1，公差为1的等差数列，所以S＝1＋(n－1)×1＝n.因为数列{an}的各项都为正数，所以Sn＝.由此可得an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以an＝－.(2)由(1)知bn＝＝＝(－1)n(＋)．当n为奇数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；当n为偶数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.所以{bn}的前n项和Tn＝(－1)n.