第51课空间点、线、面的位置关系1.平面的基本性质公理内容图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【证明】(1) E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2) EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．练习：如图，在正方体中，是的中点，是的中点，求证：（1）、、、四点共面；（2）、、三线共点．【证明】（1） 是中点，∴∥，又 ∥，∴∥，∴、、、四点共面．（2）由（1）知∥且，∴相交，设交于点，如图： 平面，∴平面，同理平面，又 平面平面，∴，∴、、三线共点．3.（1）空间直线与直线的位置关系1D1C1B1A1FEDCBAPD1C1B1A1FEDCBAPABCDPABCDE位置关系图形语言符号语言公共点个数直线与直线共面相交平行异面（2）异面直线所成的角①定义：异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的，叫异面直线所成的角．②范围：注意：若两条直线垂直，则两条直线有个公共点例2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)例3．空间四边形中，、、、分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形变式：例3的条件不变，（1）若，则四边形是（2）若与互相垂直，则四边形是（3）若与互相垂直，且，则四边形是例4．如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成的角的余弦值．【解析】（1），.（2）取的中点，如图：连接、，则∥，∴（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，,,，.2∴异面直线与所成的角的余弦值为.练习：如图是一正方体ABCDA1B1C1D1，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【解析】连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.【答案】60°3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数直线与平面在平面外相交平行在平面内平面与平面平行相交第51课空间点、线、面的位置关系业题1.如果两条直线没有公共点，那么的位置关系是（）A．共面B．平行C．异面D．平行或异面【答案】D2.下列说法正确的是（）A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．梯形确定一个平面D．一条直线和一个点确定一个平面【答案】C3.已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】A4.下列四个命题：①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c。其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D5.如图是某个正方体的侧面展开图，、是两条侧面对角线，则在正方体中，与（）A．互相平行B．异面且互相垂直3l2l1OABCC．异面且夹角为D．相交且夹角为【答案】D【解析】如图：、在正方体中即为、， 为正三角形，∴，∴与相交且夹角为．6.已知,，且是异面直线，那么直线（）A．至多与中的一条相交B．至少与中的一条相交C．与都相交D．至少与中的一条平行【答案】D7.若两条直线和一个平面相交成等...
