第六讲对数及对数函数一．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝logaM.二．对数函数的定义【套路秘籍】---千里之行始于足下1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10
0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一对数的运算【例1】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝.（2）若3a=5b=225，则1a+1b=。（4）若loga2=m，loga5=n，则a3m+n=¿。【答案】（1）1（2）12（3）40【解析】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝lg22·＋(1－lg2)2·(2lg2＋1)＝lg22·(3－2lg2)＋(lg22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1.（2） 3a=5b=225∴a=log3225,b=log5225则1a+1b=log2253+log2255=log22515=12（3） loga2=m，loga5=n，∴am=2，an=5∴a3m+n=a3m⋅an=23⋅5=40【套路总结】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【举一反三】1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为．【答案】a－2【解析】log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.2．若3x＝4y＝36，则＋＝.【答案】1【解析】3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴＝log63，＝log64，即＝log62，故＋＝log63＋log62＝1.3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝.【答案】【解析】由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.4．计算：＝.【答案】1【解析】原式＝＝＝＝＝＝1.5.已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且＋＋＝0，求abc的值．【答案】1【解析】令ax＝by＝cz＝k.由已知k>0且k≠1，于是xlga＝ylgb＝zlgc＝lgk，故＝，＝，＝.因为＋＋＝0，所以＝0，即＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.6.设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．【答案】±.【解析】由题意，得即于是有(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±.于是＝－1＝＝±.7.方程－＝3x－1的实数解为．【答案】x＝log32【解析】原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a2+a−5)logax为对数函数，则f(18)等于()A．3B．−3C．−log36D．−log38【答案】B【解析】因为函数f(x)为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a2+a−5=1，即a=2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a=2，f(x)=log2x，所以f(18)=−3。【套路总结】对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。【举一反三】1．下列函数是对数函数的是()A．y=log3(x+1)B．y=loga(2x)(a>0,a≠1)C．y=lnxD．y=logax2(a>0,a≠1)【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C。2．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10xB．y=log3x2C．y=lnxD．y=log❑13（x–1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数...
