考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值考点规范练B册第8页基础巩固组1.(2015江西九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.(2015长春调研)已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:f'(x)=x2+a,当f(x)在R上单调递增时,f'(x)≥0恒成立,则a≥0,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1
0),当x-≤0,即00,且a+1≤3,解得1-1C.a>-D.a<-答案:A解析: y=ex+ax,∴y'=ex+a. 函数y=ex+ax有大于零的极值点,∴方程y'=ex+a=0有大于零的解. 当x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.5.(2015福建,理10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.fB.fC.fD.f导学号〚92950767〛答案:C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,∴函数F(x)在R上为单调递增函数. >0,∴F>F(0)=f(0)=-1.即f-1=,∴f,故C错误.6.(2015东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.答案:4解析: f'(x)=3x2+6ax+3b,∴解得∴f'(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)极大值-f(x)极大值=f(0)-f(2)=4.7.(2015成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+lnx(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是.导学号〚92950768〛答案:∪[1,+∞)解析:f'(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,又a>0,所以00,即在,(1,+∞)上,函数f(x)单调递增,若f'(x)<0,即在上,函数f(x)单调递减.(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,则f'(x)=(3x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1.因为f(-2)=-10,f,f(1)=-1,f(2)=2,所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.导学号〚92950769〛9.(2015沈阳质检)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b.(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.解:(1)由已知得f'(x)=,∴f'(1)=1=a,a=2.又 g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.(2) φ(x)=-f(x)=-lnx在[1,+∞)上是减函数,∴φ'(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立.即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,则2m-2≤x+,x∈[1,+∞)恒成立, x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.故数m的取值范围是(-∞,2].10.已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).解:(1)f'(x)=lnx+1,x>0,由f'(x)=0得x=,所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以,x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.(2)g(x)=xlnx-a(x-1),则g'(x)=lnx+1-a,由g'(x)=0,得x=ea-1,所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,所以g(x)的最小值为g(1)=0.当1
