第2讲排列、组合、二项式定理1.(2017·高考全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解析：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析：当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.答案：C4．(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．答案：161.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个不同的培训项目，每位教师可任意选择其中1个培训项目，则恰有2个培训项目没有被这5位教师中的任何1位教师选择的情况种数为()A．5400B．3000C．150D．1500解析：分三步：第一步，从5个培训项目中选取3个，共C种情况．第二步，5位教师分成两类：第一类，将5位教师分成1人，1人，3人这3组，共C种情况；1第二类，将5位教师分成1人，2人，2人这3组，共种情况．第三步，将选出的3个项目分配给3组教师，共A种情况．故情况种数为C(C＋)A＝1500.故选D.答案：D2．(1－)(1－x)7的展开式中x2的系数为()A．49B．－35C．－49D．35解析：利用二项式定理，分类来解决．第一类，从第一个括号中选择1，x2来自(1－x)7，可得1·C(－x)2，第二类，从第一个括号中选择－，再从(1－x)7中取含x4的项，可得－·C·(－x)4，所以所求的x2的系数为－70＋21＝－49.故选C.答案：C3．某校的毕业典礼由6个节目组成，考虑到整体效果，对节目的演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目的演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种解析：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他3个位置，有A种安排方法，则此时编排方法共有4×2×A＝48(种)；②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他3个位置，有A种安排方法，则此时编排方法共有3×2×A＝36(种)；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他3个位置，有A种安排方法，则此时编排方法共有3×2×A＝36(种)．综上，符合题意的编排方法数为36＋36＋48＝120.故选A.答案：A4．若(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4的项的系数为________．解析：因为(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式中所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，所以a＝1.所以(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，其展开式中含x4的项的系数为C(－1)3－C(－1)0＝－5.答案：－523
