第2课时空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)[基础题组练]1．(2020·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知点G和E分别为A1B1和CC1的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为()A.B.C.D.解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，E，G，F(x，0，0)，D(0，y，0)，由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，DF＝＝，由x＝1－2y>0，得y<，所以当y＝时，线段DF长度的最小值是，当y＝0时，线段DF长度的最大值是1，又不包括端点，故y＝0不能取，故选A.2.(2020·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC于点D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∠BPC＝θ，记函数f(x)＝tanθ，则下列表述正确的是()A．f(x)是关于x的增函数B．f(x)是关于x的减函数C．f(x)关于x先递增后递减D．f(x)关于x先递减后递增解析：选C.因为PA⊥平面ABC，AD⊥BC于点D，BC＝CD＝AD＝1，PD＝x，∠BPC＝θ，所以可求得AC＝，AB＝，PA＝，PC＝，BP＝，所以在△PBC中，由余弦定理知cosθ＝＝.所以tan2θ＝－1＝－1＝.所以tanθ＝＝≤＝(当且仅当x＝时取等号)，所以f(x)关于x先递增后递减．3.(2020·义乌市高三月考)如图，边长为2的正△ABC的顶点A在平面γ上，B，C在平面γ的同侧，点M为BC的中点，若△ABC在平面γ上的射影是以A为直角顶点的△AB1C1，则M到平面γ的距离的取值范围是________．解析：设∠BAB1＝α，∠CAC1＝β，则AB1＝2cosα，AC1＝2cosβ，BB1＝2sinα，CC1＝2sinβ，则点M到平面γ的距离d＝sinα＋sinβ，又|AM|＝，则|B1C1|＝2，即cos2α＋cos2β＝3－(sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β)．也即sinαsinβ＝，所以d＝sinα＋sinβ＝sinα＋≥，因为sinα<1，sinβ<1，所以<1，所以0，所以－2≤x≤＋2，即AD的取值范围是[－2，＋2]．答案：[－2，＋2]5.(2020·金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥DABC中，已知AB＝2，AC·BD＝－3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为________．解析：设AD＝a，CB＝b，DC＝c，因为AB＝2，所以|a＋b＋c|2＝4⇒a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，又因为AC·BD＝－3，所以(a＋c)·(－b－c)＝－3⇒a·b＋b·c＋c·a＋c2＝3，所以a2＋b2＋c2＋2(3－c2)＝4⇒c2＝a2＋b2＋2，所以≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，即的最小值是2.答案：26．(2020·温州十五校联合体期末考试)在正四面体PABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且AN＝λAB，设异面直线NM与AC所成角为α，当≤λ≤时，则cosα的取值范围是________．解析：设点P到平面ABC的射影为点O，以AO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，过点O作BC的平行线为x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图．设正四面体的棱长为4，则有A(0，－4，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，4)，M(－，1，2)．由AN＝λAB，得N(2λ，6λ－4，0)．从而有NM＝(－－2λ，5－6λ，2)，AC＝(－2，6，0)．所以cosα＝＝，设3－2λ＝t，则≤t≤.则cosα＝＝，因为<≤≤，所以≤cosα≤.答案：7.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，点P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D.现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，点E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.解：(1)设PA＝x，则PA′＝x，所以VA′PBCD＝PA′·S底面PBCD＝x.令f(x)＝x＝－(0
