7.5.2数列与函数、不等式的综合问题考点一数列与函数的综合1.设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于()A.2021B.1C.-1D.-20212.在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*.数列{an}的通项公式为________.4.已知函数f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=________.【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn==3n-1.13.因为|f(x)|=2,所以x=kπ+,k∈Z,x=2k+1,k∈Z.又因为x>0,所以an=2n-1(n∈N*).答案:an=2n-1(n∈N*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,从而a1=24,a2=26,a3=28,….易知数列{an}是等比数列,其公比q==4,所以Sn==(4n-1).答案:(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2021等于()A.-1B.-1C.-1D.2+1【解析】选C.由f(4)=2可得4α=2,解得α=,2则f(x)=.所以an===-,S2021=a1+a2+a3+…+a2021=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.2.数列{an}的通项an=ncos2-sin2,其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,an=ncos2-sin2=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解T2:由题意(,)在直线x-9y=0上,所以—9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.3考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2·Sn·Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式an.(2)求证:++…+≤-.【解题导思】序号题目拆解(1)①an=-2Sn·Sn-1(n≥2)利用an=Sn-Sn-1将an=-2Sn·Sn-1转化为Sn,Sn-1的关系②求数列{an}的通项公式an先求出,利用an=-2Sn·Sn-1进而求得an.(2)求证:++…+≤-.由(1)得Sn=,由=<,放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1.两边同除以Sn·Sn-1,得-=2(n≥2),所以数列是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2Sn·Sn-1,4得an=(2)因为=<=(n≥2),=,所以当n≥2时,++…+=++…+<++…+=-;当n=1时,==-.综上,++…+≤-.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:是等比数列,并求{an}的通项公式.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.5又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.考点三数列与函数、不等式的综合应用命题精解读考什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及函数与方程、转化与化归等思想方法.怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图象或不等式的性质进行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等.新趋势:与...
