第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念[A级基础巩固]一、选择题1．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲、乙两车的速度曲线分别为v甲，v乙(如图所示)．那么对于图中给定的时刻t0和t1，下列判断中不一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析：由于路程是速度关于时间的函数的积分，由定积分的几何意义，知速度曲线与t轴及直线t＝t1所围成图形的面积即t1时刻车子走过的路程，由题图可知曲线v甲与t轴及直线t＝t1所围成图形的面积比较大，所以t1时刻甲车在乙车的前面．答案：A2．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝()A．6B．6(b－a)C．36D．不确定解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.答案：C3．设f(x)＝则f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx＋2xdxD.2xdx＋x2dx解析：由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1，1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1，0]与[0，1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.答案：D4．由函数y＝－x的图象(图略)，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为()A.(－x)dxB.|－x|dxC.xdxD．－xdx解析：由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－(－x)dx＝|－x|dx.答案：B5．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝01B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正解析：对于选项A，因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于选项B，因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确；C显然正确；D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．答案：D二、填空题6．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________．解析：因为f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.答案：－27．若dx＝，则实数m的值为________．解析：易知y＝的图象为圆(x＋1)2＋y2＝1的上半部分，结合已知条件及定积分的几何意义可得m＝0.答案：08．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：图①图②图③(1)S1＝________________(图①)；(2)S2＝________________(图②)；(3)S3＝________________(图③)．答案：三、解答题9．已知[f(x)＋g(x)]dx＝12，g(x)dx＝6，求3f(x)dx.解：因为[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝12，g(x)dx＝6，所以f(x)dx＝12－6＝6.所以3f(x)dx＝3f(x)dx＝18.10．用定积分的几何意义求dx.2解：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝××22－×2×2sin＝－.S矩形＝|AB|·|BC|＝2.所以dx＝2＋－＝＋.B级能力提升1．设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是()A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy解析：作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，选B.答案：B2．不用计算，判断a＝xdx，b＝exdx，c＝sinxdx的大小关系：________．解析：根据定积分的几何意义，a，b，c分别表示阴影部分的面积(如图所示)，由图易知c
