16从力做的功到向量的数量积时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.答案：C解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.2．下列命题正确的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若a·b＝0，则a∥bC．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2D．a2＞|a|2答案：C解析：a·b＝0时，可能为a⊥b的情况；|a|2＝a2，故选C.3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案：C解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()A．－6B．6C．3D．－3答案：B解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.5．在△ABC中，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对答案：C解析：∵a＋b＋c＝BC＋CA＋AB＝0，∴a＋b＝－c.又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0，∴－(a－b)·(a＋b)＝0，即|a|＝|b|.同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|.6．在边长为的正三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－3B．0C．1D．2答案：A解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知|a|＝4，a与b的夹角θ为30°，则a在b方向上的投影为________．答案：2解析：a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝4×cos30°＝2.8．向量a与b满足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.答案：解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝9，∴2a·b＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.①|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9.∴2a·b＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.②∴|b|＝.9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是__________．答案：22解析：由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以·＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为120°.11．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求实数t的值．解析：由题意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0，∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0，即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0，得t＝－1.12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解析：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.
