课时跟踪训练(三十三)数列求和[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南师大附中月考)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为()A．2B．3C．－2D．－3[解析]设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.因为a1、a3、a4成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得：a1＝－4d.所以＝＝2，故选A.[答案]A2．(2017·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝－20，则－6a4＋3a5＝()A．－20B．4C．12D．20[解析]设{an}的公差为d， S5＝＝－20，∴a1＋a5＝－8，∴a3＝－4.又－6a4＋3a5＝－6(a3＋d)＋3(a3＋2d)＝－3a3＝12.选C.[答案]C3．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1,2a2，a3成等差数列，则数列的前5项和为()A.B．2C.D.[解析]设数列{an}的公比为q，则有4＋q2＝2×2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.＝，所以S5＝＝.故选A.[答案]A4．已知数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2018＝()A．2018B．－2018C．3027D．－3027[解析]由题意得a1＝1，a5＝13， {an}是等差数列，∴公差d＝3，∴an＝3n－2，∴S2018＝－1＋4－7＋10－13＋17＋…－6049＋6052＝3×＝3027，选C.[答案]C5．(2017·安徽安庆模拟)已知数列{an}满足an＋2＝－an(n∈N＋)，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前2017项的和为()A．2B．－3C．3D．1[解析] an＋2＝－an＝－(－an－2)＝an－2，n>2，∴数列{an}是以4为周期的周期数列．S2017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＝504(a1＋a2－a1－a2)＋a504×4＋1＝a1＝1.故选D.[答案]D6.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－－[解析]因为＝＝＝所以原式＝＝＝－，故选C.1[答案]C二、填空题7．若数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则S16＝________.[解析]由an＝＝，得S16＝(－1＋－＋－＋…＋－＋－)＝(＋－－1)＝.[答案]8．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.[解析]依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6.[答案]69．(2017·陕西西安期中)如果数列{an}的前n项之和为Sn＝3＋2n，那么a＋a＋a＋…＋a＝________.[解析] Sn＝3＋2n，∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴a＝4n－1，n＝1时a1＝S1＝5，∴当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝25＋＝；当n＝1时a＝25也适合上式，故a＋…＋a＝.[答案]三、解答题10．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．[解](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2也适合，从而{an}的通项公式为an＝.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知＝＝－.则Sn＝－＋－＋…＋－＝.[能力提升]11．若an>0，Sn＝a1＋a2＋…＋an，且2Sn＝an＋(n∈N*)，则S2017＝()A．2017＋B．2017－C．2016D.[解析]令n＝1，则2S1＝a1＋，所以a1＝1，S1＝1；令n＝2，则2(a1＋a2)＝a2＋，所以a2＝－1，S2＝；令n＝3，则2(＋a3)＝a3＋，解得a3＝－，S3＝；依此类推，a2017＝－，S2017＝.故选D.[答案]D12．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()2A．440B．330C．220D．110[解析]设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，所以n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2...
