高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第7课时 空间向量的应用(一) 平行与垂直练习 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第7课时空间向量的应用(一)平行与垂直1．(2018·广西桂林一中期中)若a＝(2，3，m)，b＝(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则m＋n的值为()A．7B.C．6D．8答案C解析由a，b为共线向量，得＝＝，解得m＝4，n＝2，则m＋n＝6.故选C.2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.答案D解析由题意，得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，所以解得故选D.3．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．4．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3，6)，则下列点P在平面α内的是()A．P(2，3，3)B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0)D．P(3，－3，4)答案A解析 n＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n⊥MP，在选项A中，MP＝(1，4，1)，∴n·MP＝0.5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(，，－)B．(，－，)C．(－，，)D．(－，－，－)答案D解析AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，∴令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)．单位法向量为：±＝±(，，)．6．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2，4D．4，，－15答案B解析 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，又 BC＝(3，1，4)，则解得7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．答案①②③解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP.则①②正确．从而③正确，又BD＝AD－AB＝(4，2，0)－(2，－1，－4)＝(2，3，4)． ≠.∴AP与BD不平行．∴④不正确．18．(2018·甘肃兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.答案①②④解析不妨设BC＝a，CE＝ED＝b.折起后∠CED＝θ(0<θ<π)．以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴．则A(a，0，0)，C(0，b，0)，D(0，bcosθ，bsinθ)．∴M(，cosθ，sinθ)，N(，，0)．∴MN＝(0，－cosθ，－sinθ)，EA＝(a，0，0)，AB＝(0，b，0)，AD＝(－a，bcosθ，bsinθ)，EC＝(0，b，0)． MN·EA＝0，∴MN⊥AE，②对，EA是平面CED的法向量．∴MN∥平面DEC，①对，MN与AB异面，③不对．当θ＝时，AD·EC＝0，∴④对．综上，①②④正确．9.如右图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.答案略证明方法一：设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λBA1＋μBD.令BB1＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一组基底，则BA1＝a＋c，BD＝a＋b，AB1＝a－c，m＝λBA1＋μBD＝(λ＋μ)a＋μb＋λc，AB1·m＝(a－c)·[(λ＋μ)a＋μb＋λc]＝4(λ＋μ)－2μ－4λ＝0.故AB1⊥m，结论得证．方法二：基向量的取法同上． AB1·BA1＝(a－c)·(a＋c)＝|a|2－|c|2＝0，AB1·BD＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝0，∴AB1⊥BA1，AB1⊥BD，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，由直线和平面垂直的判定定理，知AB1⊥平面A1BD.方法三：取BC的中点O，连接AO. △ABC为正三角形，∴AO⊥BC. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点...