【课时训练】等比数列及其前n项和一、选择题1．(2018湖北华师一附中1月月考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝()A．1B．±1C．2D．±2【答案】A【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8.所以a3＝2.所以a7＝a3q4＝2q4＝8.所以q2＝2，则a1＝＝1.故选A.2．(2018广东肇庆三模)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝()A．－3B．－1C．1D．3【答案】D【解析】两式相减，得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.3．(2018石家庄质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2【答案】A【解析】依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴an＝4×2n－1＝2n＋1.故选A.4．(2018重庆巴蜀中学月考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()A．31B．36C．42D．48【答案】A【解析】由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31.故选A.5．(2018江西南昌模拟)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．12B．13C．14D．15【答案】C【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1·anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.故选C.6．(2018福建福州模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3【答案】B【解析】设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.所以＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.故选B.7．(2018广州综合测试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝()A．2B．C．D．3【答案】B【解析】由等比数列的性质，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.8．(2018合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是()1A．{an}是单调递减数列B．{Sn}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝，则q2＝.所以数列{a2n}是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列．故选C.二、填空题9．(2018石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.【答案】－【解析】因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质，知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.10．(2018河北邯郸模拟)设数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝________.【答案】【解析】依题意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋＝＝.11．(2018广东肇庆三模)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.【答案】34【解析】由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.三、解答题12．(2018兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)由(1)，得an＝n，∴bn＝2n.∴＝2.∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．∴Tn＝＝2n＋1－2.13．(2018长沙模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．(1)【解】当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.(2)【证明】由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)．∴＝＝＝＝.∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．23
