2018年高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和实战演练理1．(2016·天津卷)设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(C)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C．2．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为64.解析：设{an}的公比为q，于是a1(1＋q2)＝10①，a1(q＋q3)＝5②，联立①②得a1＝8，q＝，∴an＝24－n，∴a1a2…an＝23＋2＋1＋…＋(4－n)＝2－n2＋n＝2－(n－)2＋≤26＝64，∴a1a2…an的最大值为64.3．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1.所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝，解得q＝.因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en>.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.解析：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n，由S5＝得1－5＝，即5＝，解得λ＝－1.12
