高考数学二轮复习 限时训练12 等差、等比数列及数列求和 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练12等差、等比数列及数列求和文(建议用时45分钟)1．(2015·高考北京卷)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与{an}的第n项相等？解：(1)∵a4－a3＝2，∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝10，∴a1＝4∴an＝a1＋(n－1)×d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.(2)由(1)得a3＝2×3＋2＝8，∴b2＝8a7＝2×7＋2＝16，b3＝16∴公比q＝＝2∴b6＝b3·q3＝16×23＝128∴128＝2n＋2，∴n＝63即b6与a63相等．2．(2016·郑州市模拟)已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知d>0，因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以2＝a3a11，所以2＝(1＋2d)(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.(2)bn＝＝＝，所以Tn＝＝.3．(2016届石家庄市高中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和．解：(1)法一：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴an＝λSn－1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(a≥2)，λ＋1≠0，又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，∴数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.法二：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，又a1＝1，a2＝2，∴数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和，∴Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，①∴2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.②①－②得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n＝1＋3×－(3n－2)×2n，整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5.4．(2015·高考湖南卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.(1)证明：由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)解：由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a1＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝，从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．综上所述，Sn＝