【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.1坐标系2极坐标系学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A，B，C，D，E(4，0)，F(2.5，π)．【解】各点描点如下图．2．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，)．3．已知点M的极坐标为，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极坐标．【解】∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，)与(2，)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)．4．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A、B，那么顶点C的坐标是多少？【解】如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C对应的极角θ＝＋＝或θ＝－＝－，即C点极坐标为或.5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝时，ρ＝30(万千米)．1彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)．6．已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．【解】求两点间的距离可用如下公式：AB＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝|2×4×sin(－)|＝×2×4＝4.7．已知定点P.(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．【导学号：98990005】【解】(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵＝，∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝.∴∠OP′P＝π－－＝，∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.∴P点的新坐标为(2，)．(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝＋＝.∴P点的新坐标为(4，)．能力提升]8．已知△ABC三个顶点的极坐标分别是A，B，C，试判断△ABC的形状，并求出它的面积．【解】∵C(4，)，∠AOB＝－＝，且AO＝BO，所以△AOB是等边三角形，AB＝5，2BC＝＝，AC＝＝，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，AB边上的高为4＋5×＝，∴S△ABC＝×5×＝.3
