2.3.1直线与平面垂直的判定课后训练案巩固提升1.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β解析:选项A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,∴A不正确;选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,∴C不正确;选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,∴D不正确.故选B.答案:B2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,∴选C.答案:C3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.答案:A4.在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:如图所示: PO⊥底面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.在Rt△POA和Rt△POB中,PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.同理可证OB=OC,∴O是△ABC的外心.故选B.答案:B5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,连接AC. PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角. AC=,PA=,∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.答案:C6.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的.解析:P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.答案:外心7.导学号96640050(2016浙江杭州高二联考)如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.解析:如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD. 底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'. AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',∴∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角. 等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,在Rt△BB'C'中,BC'=,∴直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值=.答案:8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是.解析:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,连接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在Rt△PCO中,cosθ=,∴θ=45°.答案:45°10.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.答案:④11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解:(1)如图,连接DB. D1D⊥平面ABCD,∴DB是D1B在平面ABCD内的射影.则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角. DB=AB,D1B=AB,∴cos∠D1BD=,即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2) E是A1A的中点,A1A⊥平面A1B1C1D1,∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△EA1F中, F是A1D1的中点,∴∠EFA1=45°.12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面...
