高中数学教你如何学习初等函数专题辅导VIP专享VIP免费

教你如何学习初等函数王卫华幂函数、指数函数、对数函数是最重要的函数之一，是高考考查的重点内容，为此我们要搞好幂函数、指数函数与对数函数的学习。如何搞好学习呢?一、重难点归纳（1）运用三种函数的图象和性质去解决基本问题。此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用。（2）综合性题目。此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。（3）应用题目。此类题目要求考生具有较强的建模能力。二、熟练使用基本思想方法巧解题要会用相互转化的观点和方法去分析问题和解决问题，还应重视数形结合、分类讨论、等价转化（包括变形，换元）等重要的思想方法的运用，加强综合运用知识和方法的能力。三、考点例析考点1.考查三种函数的定义域、值域。例1.设函数。（1）若的定义域是R，求实数a的取值范围；（2）若的值域是R，求实数a的取值范围。分析：这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的。解好本题要运用复合函数知识，把分解为和，并结合其图象性质求解。解：（1）的定义域是R，等价于对一切实数x恒成立。显然。由且，解得，即为所求。（2）的值域是R，等价于能取遍一切正实数。当时不合题意；时，能取遍一切正实数；时，其判别式，解得。所以当时，的值域是R。点评：这是一道容易混淆的题目，应明确（1）与（2）的联系与区别。考点2：考查三种函数的图象。例2.已知，且，函数的图象只能是下图中的（）分析：解决这类问题的关键是利用指数函数与对数函数的图象关系解题，也可以从讨论指数函数与对数函数的单调性上来处理。解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C，其次，从单调性着眼，的增减性正好相反，又可排除D。故应选B。解法二：若，则曲线下降且过点（0，1），而曲线上升且过（-1，0），以上图象均不符合这些条件；若，则曲线上升且过点（0，1），而曲线下降且过（-1，0），只有B满足条件。用心爱心专心解法三：如果注意到的图象关于y轴的对称图象为互为反函数（图象关于直线对称），则可直接选B。点评：要养成从多角度分析问题和解决问题的习惯，培养思维的灵活性。考点3.考查利用三种函数求参数的值或范围。例3.设有意义，求实数a的取值范围。分析：当有意义的函数问题可转化为上恒成立的不等式问题。解：由题设可知，不等式上恒成立，即在上恒成立。设。又设，所以单调递增，要使，所以a的取值范围是，即。或者，此题也可使用分离参数法：设，所以a的取值范围是。例4.已知幂函数的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值。解：因图象与x，y轴都无交点，所以。由。由幂函数图象关于y轴对称，得。当时，函数为；当时，函数为。点评：解决此题的关键在于正确理解幂函数的定义。考点4.考查互为反函数的关系。例5.若函数的反函数的图象过点（2，-1），则________。分析：此题可以先求反函数，但比较烦琐，如果想到指数函数与对数函数互为反函数的关系，此题就会轻而易举地解决。解：由的图象经过点（2，-1），知函数过点（-1，2）。，解得。点评：这种解法的优点在于不用求反函数。当原函数的反函数比较难求时，这种解法就显得更为简捷。考点5.考查初等函数的单调性。例6.若的减函数，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.分析：本题有多种解法，不管哪种方法，都必须保证：①使有意义，即。②使上是x的减函数。由于所给函数可分解为，其中时为减函数，所以必须。③[0，1]必须是定义域的子集。解法一：因为在[0，1]上是x的减函数，所以，即。用心爱心专心所以，应选B。解法二：由对数函数概念显然有。因此在[0，1]上是减函数，应为增函数，得，排除A，C。再令，则的定义域为，但[0，1]不是该区间的子集，排除D，故选B。点评：本题综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确。例7.比较两个数的大小。错解：找不到同底和同指数，无法比较。正解：由于没有同底和同指数，故需要找一个中间量来比较。在幂函数；在指数函数，有。故。点评：在指数函数中，其单调性是以来判断的；在幂函数中，其单调性一般是以来判断的。考点6.考查初等函数的奇偶性。例8.若...