数列的通项公式的求法一.归纳、猜测、检验法给定数列的前几项、或者用递推公式的形式及用几何图形的形式给出数列的前几项，通过归纳、猜测数列的通项公式例1.已知数列满足（）ACD二.已知与的关系求通项（作差法）1.已知，求，运用公式求解例2.已知数列的前项和，求通项公式：⑴；⑵.2.给定与的关系，运用公式消去，进而求解例3.已知各项均为正数的数列的前项和满足，且当时，是与的等比中项，求数列的通项公式．【解析】当时，是与的等比中项，由，解得或，∵，∴.∵，∴，或，∵，∴，∴是以为首项，公差为的等差数列，∴的通项为．练习：（2013全国高考）若数列的前项和为,求数列的通项公式．【解析】当时，，∴，解得，1当时，，，∴，∴，∴，∵，∴，．三.累加法求通项递推关系形如．方法：变形为，用累加法求解.即：例4．已知数列满足，求．【解析】，∴，，…，，∴，∵，∴．练习：已知数列满足，，求【解析】∵当时，，∴，∴，∵，∴．四.累乘法求通项递推关系形如.方法：变形为，用累乘法求解.即：.例5．已知数列满足，，求．2【解析】∵，∴，∴，∴，又，∴．练习：已知数列满足，，求．【解析】∵，∴，∴，∴，∴，又，∴．五．对数法递推关系形如，其中且，数列是正项数列.方法：对等式两边同时取对数得.从而化为，可知数列是首项为，公比为的等比数列.例6.已知数列满足，，求.【解析】在等式，两边取常用对数得，∴，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴.【变式】已知数列满足，，求.【解析】∵，，3两边取对数得，∴，∴是以为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴，∴.六.构造法求通项适用于递推式为“”型，可以在它的两边相加数，构造等比数数列例7.已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．【变式】已知数列满足，求【解析】原等式可化为，∴，∴数列是以2为首项、以3为公比的等比数列，∴，∴．七．递推关系形如方法：取倒数变形成【例8】已知数列满足，，求【解析】∵，∴，即4∴数列是等差数列，，它的首项，公差∴，即．【变式】已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴，即∴数列是等比数列，它的首项，公比为∴，∴．八．递推关系形如方法：①将原递推公式两边同除以，②得，③，得，④再利用“递推关系形如”方法来求.【例9】已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴，∴．∴．【变式】已知数列满足，求.【解析】在原不等式两边同除以，得，5不妨引入辅助数列且，则，∴，∴，∴．九．递推关系形如方法：①设，②解出、的值，③再用换元法转化为等比数列求解．【例10】已知数列满足，，求【解析】，令则，∴，解得．∴，∴，∴．【变式】已知数列满足，，求【解析】设，∴，∴，解得．∴，∴，∴．6
