高二数学棱柱 知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学棱柱知识精讲人教版一.本周教学内容：棱柱1.棱柱的概念与性质2.直棱柱是特殊的棱柱，具有棱柱的性质且还有自身的特点：（1）侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高；（2）侧面是矩形；（3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（4）过不相邻的两条侧棱的侧面（对角面）是矩形。长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。3.特殊的四棱柱：平行六面体①平行六面体的概念与性质用心爱心专心【典型例题】例1.斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积。分析：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法一是定义法，一是公式法。解1： AA1和底面AB、AC成等角，且为45°角。A∴1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分线AG上。又△ABC为正三角形∴AGBC⊥。A 1A在底面ABC上的射影在AG上。BCA∴⊥1A又A1AB∥1BB∴1BBC⊥，即侧面B1BCC1为矩形S∴B1BCC1＝B1B·BC＝ab又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，全等。解2：过点B，在侧面ABB1A1内，作BMA⊥1A，连结CM。在△ABM和△ACM中，AB＝AC，∠MAB＝∠MAC＝45°，MA为公共边。ABMACM∴△≌△AMC∴∠＝∠AMB＝90°A∴1A⊥截面BMC，即截面BMC为斜三棱柱的直截面。说明：本题是棱柱侧面积公式的正面应用，公式正用的关键是创造公式中的应用条件，比如作直截面，并确定其周长C1就是为了创造这种条件。例2.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，EBB∈1，截面A1EC⊥侧面AC1。（1）求证：BE＝EB1。（2）若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。分析：（1）着眼点：空间线面关系及正三棱柱性质的应用。用心爱心专心证明：在截面A1EC内，过E作EGA⊥1C，G是垂足，如图 面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1。取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BFAC⊥。 面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，得BFEG∥。BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。BE ∥侧面AC1，BEFG∴∥，四边形BEGF是，BE＝FG。BEAA∴∥1，∴FGAA∥1，△AA1CFGC∽△。分析：（2）着眼点：构造二面角的平面角。关键：确定二面角的棱。解：如图，分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D。B ∠1A1C1＝∠B1C1A1＝60°DA∴∠1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1A⊥1C1。 CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，由三垂线定理得DA1A⊥1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。且∠A1C1C＝90°。CC 1＝AA1＝A1B1＝A1C1，CA∴∠1C1＝45°，即所求二面角为45°。如果改用面积射影定理，则还有另外的解法。另解：设△ABC的边长为a，截面A1EC和底面所成二面角为θ，用心爱心专心CC 1＝AA1＝A1B1＝a0 ＜θ＜90°，∴θ＝45°。即平面A1EC与平面A1B1C1所成角为45°。例3.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。（Ⅰ）证法一：连结AC 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，ACBD∴⊥，又ACD⊥1D，故AC⊥平面BDD1B1.E ，F分别为AB，BC的中点，故EFAC∥，EF∴⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：BE ＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，∴EFBD.⊥又EFD⊥1DEF∴⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1HB⊥1G，垂足为H 平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G，用心爱心专心D∴1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d＝D1H.解法一：在RtD△1HB1中，D1H＝D1B1·sinD∠1B1H.解法二： △D1HB1～△B1BG，解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即【疑难解析】1.棱柱的概念及其与各种特殊的棱柱的包含关系是学习的难点；棱柱有两个本质特征，一个是有两个平面互相平行，一个是其余各面每相邻两个公共边都互相平行。用集合的关系比较容易理解棱柱与特殊棱柱及其之间的关系：｛棱柱｝＝｛直棱柱｝∪｛斜棱柱｝；｛直棱柱｝｛正棱柱｝｛棱柱｝｛四棱柱｝｛平行六...