§1.2极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后篇巩固探究A组1.极坐标为的点的直角坐标为()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=π·cos=π,y=π·sin=-π,故直角坐标为(π,-π).答案:B2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)答案:A3.已知极坐标平面内的点P,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.,(1,)B.,(1,-)C.,(-1,)D.,(-1,-)解析:易知点P关于极点的对称点的极坐标为,由x=ρcosθ=2×cos=-1,y=ρsinθ=2×sin=-,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-).答案:D4.已知点M的直角坐标是(2,-2),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是()A.B.C.D.解析:ρ==4,tanθ==-.1又点M在第四象限,故点M的极坐标为.答案:C5.若点M的极坐标为,则点M关于y轴对称点的直角坐标为.解析: 点M的极坐标为,∴x=6cos=6cos=6×=3,y=6sin=6sin=-3,∴点M的直角坐标为(3,-3),∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).答案:(-3,-3)6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.解析: 点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.又tanθ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=π.∴点P的极坐标为.答案:7.将下列极坐标化成直角坐标.(1);(2);(3)(5,π).解(1)因为x=·cos=1,y=·sin=1,所以点的直角坐标为(1,1).2(2)因为x=6·cos=3,y=6·sin=-3.所以点的直角坐标为(3,-3).(3)因为x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).(1)(-1,1);(2)(4,-4);(3);(4)(-,-).解(1)ρ=,tanθ=-1,θ∈[0,2π),因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=,所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为.(2)ρ==8,tanθ==-,θ∈[0,2π),因为点(4,-4)在第四象限,所以θ=.所以直角坐标(4,-4)化为极坐标为.(3)ρ=,tanθ==1,θ∈[0,2π),因为点在第一象限,所以θ=.所以直角坐标化为极坐标为.(4)ρ==2,tanθ=,θ∈[0,2π),因为点(-,-)在第三象限,所以θ=.3所以直角坐标(-,-)化为极坐标为.9.在极坐标系中,如果A,B为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积.解法一利用坐标转化.对于点A,直角坐标为(),点B的直角坐标为(-,-).设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,故=0,即(x-,y-)·(x+,y+)=0,(x-)(x+)+(y-)(y+)=0.得x2+y2=4.①又 |AC|2=|BC|2,于是(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,即y=-x,代入①得x2=2,解得x=±,∴∴点C的直角坐标为.∴ρ==2,tanθ=-1,θ=,∴点C的极坐标为.S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.法二设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π), |AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,4∴|AC|=|BC|=2,即①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos=0,∴θ-+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,又0≤θ<2π,∴k可取0或1,∴θ=或θ=.∴点C的极坐标为,S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.B组1.在极坐标系中,确定点M的位置,下面方法正确的是()A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=2答案:B2.在极坐标系中,已知点A,B,则OA与OB的夹角为()A.B.0C.D.解析:如图所示,夹角为.5答案:C3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A.B.C.D.解析:极径ρ==2,极角θ满足tanθ==-, 点(1,-)在第四象限,∴θ=-+2kπ(k∈Z).答案:A4.在极坐标系中,已知点P和点Q,则PQ的中点M的极坐标可以是()A.B.C.D.解析: P,∴∴P(1,). Q,∴∴Q(-3,).∴PQ的中点M的直角坐标为(-1,).∴ρ2=(-1)2+()2=4,∴ρ=2,tanθ==-,∴θ=+2kπ,k∈Z.答案:B65.已知极坐标系中,极点为坐标原点,0≤θ<2π,点M,则在直线OM上与点M之间的距离为4的点的极坐标为.解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM=,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4...
