题组层级快练(三十八)1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64答案A解析a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A.2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2013等于()A．2013×2014B．2012×2013C．2011×2012D．2013×2013答案B解析累加法易知选B.3．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于()A．()n－1B．()nC.D.答案D解析由关系式易知为首项为＝1，d＝的等差数列，＝，所以xn＝.4．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝()A．2－()n－1B．()n－1－2C．2－2n－1D．2n－1答案A解析设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1，所以选A.5．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝()A．2(n2＋n＋1)B．2·3nC．3·2nD．3n＋1答案B解析an＝Sn－Sn－1，可知选B.6．(2015·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是()A．2014B．2013C.D.答案D解析如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝，第2次运行后得到a3＝，…，第n次运行后得到an＋1＝，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2013项．将an＋1＝变形为＝＋1，故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，所以输出结果是.故选D.7．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.答案4－解析原递推式可化为an＋1＝an＋－，则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－.逐项相加，得an＝a1＋1－.故an＝4－.8．已知数列{an}的首项a1＝，其前n项和Sn＝n2an(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析由a1＝，Sn＝n2an，①∴Sn－1＝(n－1)2an－1.②①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即an＝n2an－(n－1)2an－1，亦即＝(n≥2)．∴＝··…··＝···…··＝.∴an＝.9．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________.答案2·3n－1－1解析设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴an＝2·3n－1－1.10．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，则an＝________.答案(2n－1)·2n解析∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，∴＝＋2.令bn＝，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1.∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2n.11．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2解析由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.12．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析由已知，可得当n≥1时，an＋1＝.两边取倒数，得＝＝＋3.即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝.13．如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第2个数是________.答案解析设第n行的第2个数为an，不难得出规律an＋1＝an＋n，累加得an＝a2＋2＋3＋…＋(n－1)＝.14．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．答案an＝解析由Sn＋1＝2Sn＋n＋1，①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1.(n≥2)又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝2(n≥2)．故数列{an＋1}是从第2项起，以a2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝a，所以a2＝a＋2.故an＝(a＋3)·2n－2－1(n≥2)．又a1＝a不满足an＝(a＋3)·2n－2－1，所以an＝15．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．答案(1)an＝2n(2)bn＝2(3n＋1)解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①∴an＋1＝＋＋＋…＋＋.②②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．
