2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数y＝f(x)在x＝a处可导，则lim等于()A．f(a)B．f′(a)C．f(h)D．f′(h)解析：令Δx＝h－a，则h＝a＋Δx故：lim＝lim＝f′(a)．答案：B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/s解析：∵＝＝＝＝Δt＋5∴s′(3)＝lim＝lim(Δt＋5)＝5.答案：C3．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是()A．(0,0)B．(2,4)C.D．解析：k＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.∵倾斜角为，∴k＝1.∴2x＝1，x＝，y＝，故选D.答案：D4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5解析：由题意切点A(1,3)在直线y＝kx＋1上．∴3＝k＋1，得斜率k＝2，又∵y′＝lim＝3x3＋a＝k＝2即3x2＋a＝2∴把x＝1代入上述方程得a＝－1，再把切点A(1,3)坐标和a＝－1代入曲线方程得b＝3.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y＝2x2＋4x＋1，则y′|x＝－1＝______，y′|x＝3＝______.解析：当x＝－1时，＝＝2Δx当Δx→0时，→0，当x＝3时，＝16＋2Δx，1当Δx→0时，→16.答案：0166．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析：y′|x＝1＝lim＝lim(2＋3Δx)＝2.所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0答案：2x－y＋4＝0三、解答题(每小题10分，共20分)7．利用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数．解析：Δy＝－＝＝，∴＝－.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－.∴f′(1)＝－.8．求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝lim＝lim＝lim＝－.故所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．由点(2,0)在所求的直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以直线方程为x＋y－2＝0.☆☆☆9．(10分)已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：＝＝2x＋Δx则y′＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0，由点斜式可得，所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)又因为切线过(1，a)，则y0＝x＋1，所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)即x－2x0＋a－1＝0，因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a＜2}．2
