第2讲数列求和及简单应用(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号数列的通项公式1,9,11,12数列求和2,3,4,5,6,7,8,11数列的综合问题10,12一、选择题1.在数列{xn}中,=+(n≥2),且x2=,x4=,则x10等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由=+(n≥2)可知数列{}是等差数列,又x2=,x4=,所以=,=.所以解得=1,d=,则=+9d=1+=,所以x10=.故选C.2.(2018·河南南阳一中模拟)已知数列{an}满足:当n≥2且n∈N*时,有an+an-1=(-1)n×3,则数列{an}的前200项的和为(A)(A)300(B)200(C)100(D)50解析:由题意当n≥2且n∈N*时,有an+an-1=(-1)n×3,可得到a2+a1=3,a4+a3=3,a6+a5=3,…,a200+a199=3,所以数列{an}的前200项的和为(a2+a1)+(a4+a3)+(a6+a5)+…+(a200+a199)=300.故选A.3.(2018·河南省最后一模)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=4,则an+1=2Sn-4,则S10等于(C)(A)2(310-1)(B)2(310+1)(C)2(39+1)(D)4(39-1)解析:因为a1=4,an+1=2Sn-4,①所以a2=2a1-4=4,当n≥2时,an=2Sn-1-4,②①-②,得an+1-an=2an,an+1=3an,所以{an}从第二项起构成公比为3的等比数列,S10=a1+(a2+a3+…+a10)=4+=2(39+1).故选C.4.(2018·山东日照高三校际联考)已知数列{an}中,a1=1,且对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为a1=1,且对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,所以令m=1,则an+1=a1+an+n=an+n+1,即an+1-an=n+1,所以an-an-1=n(n≥2),…a2-a1=2,所以an=(an-an-1)+(an-1-)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=,所以==2(-),所以=2[(1-)+(-)+…+(-)+(-)+(-)]=2(1-)=.故选D.5.(2018·山东潍坊二模)在数列{an}中,an=2n-1,一个7行8列的数表中,第i行第j列的元素为cij=ai·aj+ai+aj(i=1,2,…,7,j=1,2,…,8),则该数表中所有不相等元素之和为(C)(A)216-10(B)216+10(C)216-18(D)216+13解析:该数阵的第i行第j列的元素cij=ai·aj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,8),其数据如表所示,ji12345678122-123-124-125-126-127-128-129-1223-124-125-126-127-128-129-1210-1324-125-126-127-128-129-1210-1211-1425-126-127-128-129-1210-1211-1212-1526-127-128-129-1210-1211-1212-1213-1627-128-129-1210-1211-1212-1213-1214-1728-129-1210-1211-1212-1213-1214-1215-1由表可知,该数表中所有不相等元素之和为22-1+23-1+…+215-1=-14=216-18.故选C.6.(2018·南平一模)已知数列{bn}满足b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2)bn+cos2,则该数列的前23项的和为(A)(A)4194(B)4195(C)2046(D)2047解析:b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2)bn+cos2,当n为奇数时,bn+2=2bn,数列为以2为公比的等比数列,当n为偶数时,bn+2=bn+1,数列为以1为公差的等差数列.所以S23=(b1+b3+…+b23)+(b2+b4+…+b22)=+11×4+×1=212-1+44+55=4194.故选A.7.(2018·山东潍坊青州三模)已知数列{an},定义数列{an+1-2an}为数列{an}的“2倍差数列”,若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an+1-2an=2n+1,且a1=2,数列{an}的前n项和为Sn,则S33等于(B)(A)238+1(B)239+2(C)238+2(D)239解析:根据题意得an+1-2an=2n+1,a1=2,所以-=1,所以数列{}表示首项为1,公差d=1的等差数列,所以=1+(n-1)=n,所以an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,所以-Sn=2+22+23+24…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1,=-2+(1-n)2n+1,所以Sn=(n-1)2n+1+2,S33=(33-1)×233+1+2=239+2.故选B.二、填空题8.(2018·湖南永州市一模)若Sn=+++…+(n∈N+),则S2017=.解析:令an===-,故S2017=1-+-+…+-=.答案:9.数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=6an-2n-3,则Sn=.解析:n=1时,4a1=4S1=6a1-2-3,解得a1=,n≥2时,an=Sn-Sn-1,4Sn-1=6an-1-2(n-1)-3,4Sn=6an-2n-3,两式相减可得4an=6an-6an-1-2,即an=3an-1+1,即有an+=3(an-1+),可得an+=(+)·3n-1=3n,即an=3n-,由4Sn=6an-2n-3,可得Sn=(2·3n+1-2n-6)=.答案:10.(2018·安徽淮南二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且a2>a1,S4=a1+28,a3+2是a2,a4的等差中项,若数列{}的前n项和Tn≤M恒成立,则M的最小值为.解析:设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+28,a3+2是a2,a4的等差中项,所以解得或因为a2>a1,所以a2=4,q=2.所以an=2n,Sn==2n+1-2,所以==...
