2.3.2双曲线的简单性质（二）[A.基础达标]1．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝2有且只有一个交点，那么k的值是()A．±1B．±C．±1，±D．±解析：选C.把y＝kx＋2代入x2－y2＝2，整理得，(1－k2)x2－4kx－6＝0.当1－k2＝0，即k＝±1时，y＝kx＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k2≠0时，当y＝kx＋2与x2－y2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k＝±.综上可知，满足条件的k的值为±1，±.2．已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则①－②得－＝0，因为x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，＝1，所以4b2＝5a2，又因为c＝3，所以a＝2，b＝，故E的方程为－＝1.3．已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为()A.B.＋1C.D．2＋解析：选A.由题意得P的横坐标为c，由－＝1得y＝，即P(c，)，kF1P＝＝＝＝得e＝.4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1，2)B．(1，)C．[2，＋∞)D．[，＋∞)解析：选B.双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，由题意得，0＜＜tan30°＝，即＜.又因为e＞1，所以e∈(1，)．5．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝()A.B.C.D．与P点位置有关解析：选A.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2＝，则y1＋y2＝0，y1y2＝－，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.由于kPA·kPB＝·＝＝＝＝，即kPA·kPB为定值，故选A.6．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直线：①5x－3y＝0；②x－y－4＝0；③5x－3y－52＝0；④4x－3y＋15＝0.如果上述直线上存在点P，使|PF2|＝|PF1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．解析：由－＝1，所以a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，c＝5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足＝6＜10.当直线上存在点P满足|PF2|－|PF1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，对于①③两直线的斜率均为＞，故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点．答案：②④7．直线l与双曲线－y2＝1相交同一支于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，则直线AB的斜率为________．解析：设l的方程为y＝kx＋b，由消去y得：(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故Δ＝8b2＋8－16k2＞0，①1－2k2≠0，由根与系数的关系知：x1＋x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝.因为线段AB的中点在直线y＝2x上，所以有＝，得k＝，满足①式．当直线l的斜率不存在时，不符合题意．1答案：8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且AF＝3BF，则双曲线离心率的最小值为________．解析：因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点且AF＝3BF，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为AF＝3BF，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2，所以离心率的最小值为2.答案：29．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且经过点.(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有2a＝|－|＝2，所以a＝1，由以上可知：a2＝1，c2＝4，b2＝3.所以所求双曲线C的方程为x2－＝1.渐近线方程为y＝±x.(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.①当3－k2＝0即k＝±时，此时直线l与双曲线相交于一个公共点，符合题意；②当3－k2≠0即k≠±时，由Δ＝0得k＝±，此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合...
