压轴题(八)12．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f(x＋2)为R上的偶函数，且当x≥2时函数f(x)满足x3f′(x)＋3x2f(x)＝，f(3)＝，则81f(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)>0得0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当m>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴f(x)max＝f＝ln－2m·－n＝－ln2－lnm－－n＝－ln2，∴n＝－lnm－，∴m＋n＝m－lnm－，令h(x)＝x－lnx－(x>0)，则h′(x)＝1－＝，∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，∴h(x)min＝h＝ln2，∴m＋n的最小值为ln2.21．已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．解(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则k>0或k<－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.当直线l的斜率不存在时，得A，B，所以k1＋k2＝4.综上，恒有k1＋k2＝4.
