高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和考向归纳-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

等比数列及其前n项和考向1等比数列的基本运算1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84【解析】 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】B2．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(1)求通项an；(2)若bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝360，求n的值．【解】(1)设{an}的公比为q，由a2＝2，a5＝128，及a5＝a2q3，得128＝2q3，所以q＝4，所以an＝a2qn－2＝2·4n－2＝22n－3.(2)因为bn＝log222n－3＝2n－3，所以数列{bn}是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以Sn＝n×(－1)＋×2＝n2－2n，令n2－2n＝360，得n1＝20，n2＝－18(舍)，故n＝20为所求．解决等比数列有关问题的常见思想方法1．方程的思想；等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．2．数形结合的思想；通项an＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n的函数，点(n，an)是曲线y＝qx上一群孤立的点．3．分类讨论的思想；当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考点，也是易错点．考向2等比数列的判定与证明(1)(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列(2)(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.①证明：是等比数列，并求{an}的通项公式；②证明：＋＋…＋<.【解析】(1)设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.【答案】D(2)①由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.②由①知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.等比数列的判定方法1．定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．2．等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．13．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．4．前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．[变式训练]1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．【解】(1) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明： a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2.∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． S1＋2＝4≠0.∴Sn－1＋2≠0，∴＝2.即{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．考向3等比数列性质的应用(1)(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.【解析】(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.(2)法一 S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.由÷＝得q3＝－，∴＝＝.法二因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.【答案】(1)50(2)等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根...