第6章不等式、推理与证明练习71.已知实数x>-1且x≠0,整数p>1,n∈N*,求证:(1+x)p>1+px.证明:(1)当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.(2)假设p=k(k≥2且k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立,与p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以p=k+1时,原不等式成立.综合(1)(2)可得,当x>-1,且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px成立.2.已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*,证明:nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.证明:(1)当n=1时,左边=f0(x)+xf1(x)=+x·′=+x·=cosx=sin=右边,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kf′k-1(x)+fk(x)+xf′k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),′=cos·′=sin,所以,(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此,当n=k+1时,等式也成立.综合(1)(2)可知,等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.