4.1.2函数的极值[基础达标]1.如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3，1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B.由f′(x)的图像知f(x)在[－3，－1]和[2，4]上递减，在[－1，2]上递增，故①不正确，③正确；x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点．2.若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝()A．1B．3C．2D．4解析：选B.f′(x)＝，由题意知f′(1)＝＝0，∴a＝3.3.设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D.f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝2，又当x∈(0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a>－D．a<－解析：选A.由题意y′＝ex＋a＝0即a＝－ex在(0，＋∞)上有解，令f(x)＝－ex(x>0)，则f(x)∈(－∞，－1)．∴a＝－ex<－1.5.函数f(x)＝x3－2ax2＋3a2x在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－∞，3)C．(0，)D.解析：选C.由f(x)＝x3－2ax2＋3a2x，得f′(x)＝x2－4ax＋3a2，显然a≠0，由于f′(0)＝3a2>0，Δ＝16a2－12a2＝4a2>0，依题意，得0<3a<1，f′(1)>0，即0
0，解得00)，∴f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当20时，求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．∴当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．[能力提升]1.设函数f(x)＝x3－4x＋a，0－1B．x2>0C．x2<0D．x3>2解析：选B.由f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±.f′(x)＝3x2－4<0⇒－0⇒x<－或x>，所以f(x)在上单调递减，在，上单调递增．所以f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝，函数y＝f(x)的图像如图所示，故x1<－<－1，x2>0，由于f()<0，f(2)＝a>0，故x3<2.2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则f(2)＝________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴，解得或.当时f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1处不存在极值；当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，∴当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴符合此题意，∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18，故答案为18.答案：183.已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a...
