课时跟踪检测（二十）从力做的功到向量的数量积一、基本能力达标1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b等于()A．3B.C．2D.解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝，∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×＝.3．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.C．4＋D．2解析：选B根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.4．若·＋2＝0，则△ABC为()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A·＋·＝0，·(＋)＝0，·＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.∴△ABC为直角三角形．5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝()A．5B．4C．3D．1解析：选B∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝13.将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0.解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.答案：37．如果a，b，a－b的模分别为2,3，，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cosθ，即cosθ＝.又0≤θ≤π，故θ＝.答案：8．已知△ABC是边长为的等边三角形，则·＋·＝________.解析：注意到与，与所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故·＋·＝2×(××cos120°)＝－2.答案：－29．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.解：(1)a在b方向上的投影为|a|cosθ＝5cos150°＝－，a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－10.(2)b在a方向上的投影为|b|cosθ＝＝＝.∵cosθ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知，a·b＝4×8×＝－16.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16.(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0.∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.二、综合能力提升1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π解析：选A由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)为()A．0B．aC．bD．c解析：选Ba·(b·c)＝a·(|b||c|·cos45°)＝a·＝a.故选B.4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()A.B.C．－D．－解析：选A∵AM＝1，且＝2，∴||＝.如图，·(＋)＝·2＝·＝()2＝2＝.5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.又|a－b|2＝4|a|2，∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2.∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2，∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.(1)求a与b的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？解：(1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2.∴a·b＝＝＝＝.又∵a·b＝|a||b|cosθ，∴＝3×5×cosθ.∴cosθ＝，θ＝60°.(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)，∴(μa＋b)·(a－2b)＝0.∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0.∴9μ－2×25－2μ×＋＝0.∴μ＝－.∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直．
