第2章函数、导数及其应用练习31．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R解析：选项A中函数y＝cos2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B项．答案：B2．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝()A.B．－C.D．－解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.答案：C3．[2015·“江淮十校”联考]定义在R上的函数f(x)满足：对任意α、β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2014，则下列说法正确的是()A．f(x)＋1是奇函数B．f(x)－1是奇函数C．f(x)＋2014是奇函数D．f(x)－2014是奇函数解析：令α＝β＝0，则f(0)－2f(0)＝2014，f(0)＝－2014.令α＝x，β＝－x，则f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2014.所以－2014－[f(x)＋f(－x)]＝2014.即－2014－f(x)－f(－x)＝2014，－[f(－x)＋2014]＝f(x)＋2014.所以，f(x)＋2014是奇函数，故选C.答案：C4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2013)＋f(2015)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算解析：由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)．∴f(x－1)＝－f(x＋1)．∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)．∴f(x)的周期为4.∴f(2013)＝f(1)，f(2015)＝f(3)＝f(－1)．又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2013)＋f(2015)＝0.答案：C5．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图像关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为__________．解析：由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，①为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图像，则y＝f(x)的图像关于点对称，②为真命题；又y＝f为奇函数，∴f＝－f，f＝－f＝－f(－x)．∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．答案：①②③
