第十九讲三角恒等变换班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知α是锐角，且sin＝，则sin的值等于()A.B．－C.D．－解析：由sin＝得cosα＝，又α为锐角．∴sin＝－sin＝－＝－＝－＝－.答案：B2.·等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα解析：原式＝＝＝cosα.故选D.答案：D3．若－2π＜α＜－，则的值是()A．sinB．cosC．－sinD．－cos解析：＝＝＝，∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0，∴＝－cos，故选D.答案：D4.的结果为()A．tanαB．tan2αC．cotαD．cot2α解析：＝＝tan2α.答案：B5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝()A．－B．－C.D.解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，∴(cos2α＋cos2β)＝，∴(2cos2α－1＋1－2sin2β)＝，∴cos2α－sin2β＝.答案：C6．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A.B.C.D.解析：y＝sin2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，故选择C.用心爱心专心1答案：C评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的模式．一般地，acosx＋bsinx＝＝(sinφcosx＋cosφsinx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，也可以变换如下：acosx＋bsinx＝(cosφcosx＋sinφsinx)＝cos(x－φ)，其中tanφ＝.二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值为____．解析：设θ＋15°＝α，原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°－cosα＝0.答案：08．(2010·山东潍坊检测)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得sin＝sin(α－β)，又－α－β与α－β在同一单调区间内，故－α－β＝α－β，∴α＝，tanα＝1.答案：19．(tan5°－cot5°)·＝________.解析：(tan5°－cot5°)·＝·＝－2··tan10°＝－2.答案：－210．[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.解析：原式＝[2sin50°＋sin10°]·＝··cos10°＝2sin50°cos10°＋sin10°·2sin40°·＝2sin50°cos10°＋2sin10°cos50°＝2sin60°＝.答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知0＜α＜，0＜β＜且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan＝1－tan2，求α＋β的值．分析：由的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.解：由4tan＝1－tan2得tanα＝＝.由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜，∴α＋β＝.用心爱心专心2评析：首先由4tan＝1－tan2的形式联想倍角公式求得tanα，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．12．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－2.分析：本题由于＋＝α，－＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式．解：原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－－＝1－2sincos＋sinαsinβ－＝sinαsinβ＋[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sinαsinβ＋·(－2)sinαsinβ＝0.评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．13．已知sin(2α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，求sinα的值．解：∵<α<π，∴π<2α<2π.又－<β<0，∴0<－β<.∴π<2α－β<.而sin(2α－β)＝>0，∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.又－<β<0且sinβ＝－，∴cosβ＝，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝×－×＝.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝，又α∈，∴sinα＝.评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sinβ求cosβ，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，＋＝等．用心爱心专心3
