第一节数列的概念与简单表示法时间：45分钟分值：100分一、选择题1．数列0，，，，…的一个通项公式为()A．an＝(n∈N*)B．an＝(n∈N*)C．an＝(n∈N*)D．an＝(n∈N*)解析将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.答案C2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝()A.B.C.D．30解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.答案D3．(2015·福建安溪月考)数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝()A.B.C．5D．6解析因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝.所以a5＝····a1＝××××1＝.故选A.答案A4．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对所有正整数n都成立，则a10等于()A．34B．55C．89D．100解析a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8，a7＝a6＋a5＝13，a8＝a7＋a6＝21，a9＝a8＋a7＝34，a10＝a9＋a8＝55.答案B5．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an，若a6＝64，则a9等于()A．256B．510C．512D．1024解析在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an，所以a12＝a6·a6＝642，又a6＝a3·a3，所以a3＝8，所以a12＝a9·a3，解得a9＝＝512.故选C.答案C6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为()A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3}D．{1,2,4}解析因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.答案B二、填空题7．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的第________项．解析将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n组n个，，，，…，，，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案508．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案10或119．(2015·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．解析 a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．答案an＝(n∈N*)三、解答题10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)记bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)×2n－1，n∈N*.(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)×2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)×2n－2＝2n－2×， an＋1≥an，∴12×n－2＋a－3≥0，∴a≥－9.又a2＝a1＋3>a1，综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1
