§2.6对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝logaM.(2)对数的性质①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质a>10
1时，y>0当01时，y<0当00(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5.(√)(2)2log510＋log50.25＝5.(×)(3)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2.(√)(4)当x>1时，logax>0.(×)(5)当x>1时，若logax>logbx，则ab>c解析a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是．答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项②正确．3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是．答案(－，＋∞)解析函数f(x)的定义域为(－，＋∞)，令t＝2x＋1(t>0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式>0的解集为．答案∪(2，＋∞)解析 f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称． f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f＝0，得f＝0.∴>0⇒<－或>⇒x>2或04，所以f(3＋log23)＝＝×＝.题型二对数函数的图象和性质例2(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是．(2)作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．思维点拨从基本函数y＝log2x出发，到y＝log2|x|，再到y＝log2|x＋1|.(1)答案c＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)
