3.1.2椭圆的简单性质[基础达标]椭圆x2＋8y2＝1的短轴的端点坐标是()A．(0，－)，(0，)B．(－1，0)，(1，0)C．(2，0)，(－2，0)D．(0，2)，(0，－2)解析：选A.椭圆方程可化为x2＋＝1，焦点在x轴，b2＝，b＝，故椭圆的短轴的端点坐标为(0，－)，(0，)．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()A．(±13，0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±)解析：选D.由题意知焦点在y轴上，a＝13，b＝10，∴c2＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±)．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是()A.B．C.D．－解析：选C.将椭圆化为标准方程为＋＝1，则必有m>0.∵m＋1>m>0，∴<.∴a2＝，a＝，2a＝.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：选B.2a＋2b＝18，即a＋b＝9，又c＝3，∴9＝a2－b2，∴a－b＝1，∴a＝5，b＝4，又焦点在x轴，故椭圆的标准方程为＋＝1.如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.B.－1C.D．＋1解析：选A.Rt△AOB∽Rt△BOC，∴＝，即b2＝ac，又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，又e∈(0，1)，∴e＝.已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．解析：2a＝20，a＝10，e＝＝，∴c＝6，b2＝a2－c2＝64.故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．1解析：由题意2a，2b，2c成等差数列，即a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c①，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)，∴a－c＝②由①②可得，∴e＝＝.答案：已知与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相同的椭圆的标准方程为________．解析：易求得椭圆＋＝1的离心率为，椭圆＋＝1的长轴长为4，设所求椭圆的半长轴，半短轴，半焦距，离心率依次为a，b，c，e则a＝2，e＝＝，∴c＝a＝，∴b2＝a2－c2＝8－2＝6.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程的x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－)，(0，)．已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭圆E的方程．解：设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆方程可化为＋＝1.将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆E的方程为＋＝1.[能力提升]椭圆＋＝1(a>b>0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为b，则该椭圆的离心率为()A.B．2－C.－1D．－解析：选C.A(a，0)，直线BF的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，由题意得＝b，即＝，1＋＝，＝－1，∴e＝－1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________．解析：设椭圆的右焦点为F1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF中，设|BF|＝x，由余弦定理得36＝100＋x2－2×10x×，解得x＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA＝90°，所以△ABF是直角三角形，所以2a＝6＋8＝14，即a＝7.又因为在Rt△ABF中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝|AB|＝5，即c＝5.所以e＝.答案：求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．解：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故所求椭圆方程为＋＝或＋＝，即＋＝1或＋＝1.4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·()2＝4a2－3a2＝a2(当2且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.又0
