第三章不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知a>b,则下列不等式①a2>b2,②,③不成立的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:取a=2,b=-4,可知①②③均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2<1的解集是()A.{x|x>-2}B.{x|x<-4}C.{x|-40的解集是,则ab等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得所以a=12,b=2.所以ab=24.答案:A5.设a>0,若关于x的不等式x+≥4在x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值为()1A.4B.2C.16D.1解析:因为x>0,a>0,所以x+≥2.因此要使不等式恒成立,应有2≥4,所以a≥4,即a的最小值为4.答案:A6.不等式>0的解集为()A.{x|x<-2或x>3}B.{x|x<-2或13}D.{x|-20,由穿针引线法(如图)可得-23.答案:C7.已知当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4>0有解,则m的取值范围为()A.m>-4B.m<-4C.m>-5D.m<-5解析:记f(x)=x2+mx+4,则由二次函数的图像知,当f(1)>0或f(2)>0时,不等式x2+mx+4>0在(1,2)上一定有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故选C.答案:C8.(2017浙江高考)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)解析:画出约束条件所表示的平面区域为图中阴影部分,2由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+2×1=4.又z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.答案:D9.已知a2+c2-3=0,则c+2a的最大值是()A.2B.2C.2D.3解析:解法一:由a2+-3=0,得4a2+c2=12,所以(2a+c)2=4a2+c2+2×2ac≤4a2+c2+4a2+c2=24,当且仅当2a=c=时取等号,则c+2a的最大值是2.解法二:由a2+c2-3=0,可得a2+c2=1,令a=cosα,c=2sinα,α∈R,可得c+2a=2sinα+2cosα=2sin≤2.答案:B10.若变量x,y满足且2x-y的最大值为-1,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y,则y=2x-z.因为2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C时,z取得最大值,由解得故a=-1.3答案:C11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析:矩形的一边长为xm,则其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,即10≤x≤30.答案:C12.已知点P(x,y)的坐标满足条件的最大值为a,x2+(y+)2的最小值为b,则a+b=()A.4B.5C.7+4D.8+4解析:线性约束条件表示的可行域为直线x=1,y=2,2x+y-2=0围成的三角形及其内部,可看作点(x,y),(-2,0)连线的斜率,观察图形可知最大值a=1,x2+(y+)2可看作两点(x,y),(0,-)间距离的平方,观察图形可知最小值b=4,所以a+b=5.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为(-1,3),则m+n的值为.解析:由题意得,-1,3为方程x2+mx+n=0的两根,因此-1+3=-m,-1×3=n⇒m=-2,n=-3,则m+n=-5.答案:-5414.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:3015.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围是.解析:依题意得-1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立,因此Δ=4a2+4a≤0,解得-1≤a≤0.答案:[-1,0]16.若变量x,y满足则z=log2(x-y+5)的最大值为.解析:根据约束条件作出可行域如图.由z=log2(x-y+5),得2z=x-y+5,即y=x+5-2z,作直线l0:x-y=0,当直线l0过原点(0,0)时,2z最大,即2z=5,此时z最大,所以当x=y=0时,zmax=log25.答案:log25三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设ƒ(x)=(x>0).(1)求ƒ(x)的最大值.(2)证明:对任意实数a,b,恒有ƒ(a)
