课时跟踪检测（八）空间向量运算的坐标表示一、基本能力达标1．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则()A．cos〈a，b〉＝B．a⊥bC．a∥bD．|a|＝|b|解析：选D∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－.由上知A，B不正确，D正确．C显然也不正确．2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为()A.B.C.D.解析：选D由已知得ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝0，即5k－7＝0，解得k＝，故选D.3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝()A.B.C.D.解析：选C因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝，所以＝－λ.解得λ2＝，所以|a|＝＝.4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则|BE|＝()A．2B.C.D．2解析：选C由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则BE＝(－2,1,1)，|BE|＝.5．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.答案：76．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足M1M2＝4MM2，则向量OM的坐标为________．解析：设M(x，y，z)，则M1M2＝(1，－7，－2)，MM2＝(3－x，－2－y，－5－z)．又∵M1M2＝4MM2，∴∴答案：7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，问是否存在实数x，y，使得AC＝xAB＋yBC成立？若1存在，求x，y的值．解：∵AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,2)，BC＝(0，－1,2)．假设存在x，y∈R满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)，∴⇒即存在实数x＝1，y＝1使结论成立．8．如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E为BC的中点．(1)求AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，所以AO1＝(－2,0,2)，B1E＝(－1,0，－2)，所以cos〈AO1，B1E〉＝＝＝－.(2)因为O1D⊥AC，AD∥AC，而C(0,3,0)，设D(x，y,0)，则O1D＝(x，y，－2)，AD＝(x－2，y,0)，AC＝(－2,3,0)，所以⇒所以D，所以O1D＝|O1D|＝.二、综合能力提升1．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是()A．[0,5]B．[1,5]C．(1,5)D．(0,5)解析：选B由题意知，|AB|＝＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.2．已知空间向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是()A．(0,1,2)B．(0，－1，－2)C.D.解析：选D∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a＋b＝(0,1,2)，|a＋b|＝，∴与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是－(0,1,2)＝.3．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B.C．－D．±解析：选C∵OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，∴OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，2∴(OA＋λOB)·OB＝λ＋λ＝2λ，|OA＋λOB|＝＝，|OB|＝.∴cos120°＝＝－，∴λ2＝.又<0，∴λ＝－.4．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．解析：由题意，知AB＝，AC＝(－1,0,0)，所以|AB|＝1，|AC|＝1.则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.答案：30°5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值．解：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，则B(1,0，0)，E1，C(1,1,0)，O1，BE1＝，CO1＝，BE1·CO1＝·＝，|BE1|＝，|CO1|＝.∴cos〈BE1，CO1〉＝＝.即BE1与CO1所成角的余弦值为.6．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝a＋tb＝(－1＋t,1,3－2t)，∴|c|＝＝.∵当t∈时，关于t的函数y＝52＋是单调递减的，∴当t＝－时，|c|取最小值.(2)由(1)，知当t＝－时，c＝，|b|＝＝，|c|＝，∴cos〈b，c〉＝＝－.34
