§2.4二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x＝；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a＞0时，开口，a＜0时，开口；(4)值域：a＞0时，y∈，a＜0时，y∈；(5)单调性：a＞0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；a＜0时，f(x)在上是，在上是_____________．3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的________，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的________．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的________或二次函数的________处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m①m＜x1＜x2②x1＜m＜x2③f(m)<0.m＜x1＜x2＜n④m＜x1＜n＜x2＜p⑤mb>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图象可能是下图中的()解： a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，b2－4ac>0，∴图象开口向上，在y轴上截距为负，且过(1，0)点．故选A.已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝________.解： f(0)＝f(2)，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，∴x1＋x2＝2×1＝2.故填2.已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b，满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，则a＋b＝________.解：f(3)＝3，则9＋3(a＋1)＋b＝3，即b＝－3a－9.f(x)≥x恒成立，即x2＋(a＋1)x＋b－x≥0恒成立．∴x2＋ax＋b≥0恒成立，∴a2－4b≤0，将b＝－3a－9代入得(a＋6)2≤0，a＝－6.∴b＝9，a＋b＝3.故填3.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解之得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)， f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，∴m＝，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a＋8. f(2)＝－1，即a＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解之得a＝－4，∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.【点拨】由条件f(2)＝f(－1)及f(x)的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x＝，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g(x)＝f(x)＋1的两个零点，利用零点式求g(x)的解析式，再求f(x)的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．已知y＝f(x)是二次函数，且f＝f对x∈R恒成立，f＝49，方程f(x)＝0的两实根之差的绝...
