课时素养评价九不等式的性质(15分钟30分)1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A.
b2C.>D.a|c|>b|c|【解题指南】依据不等式的性质或用特殊值法.【解析】选C.对A,若a>0>b,则>0,<0,此时>,所以A不成立;对B,若a=1,b=-2,则a2b,所以>恒成立,所以C成立;对D,当c=0时,a|c|=b|c|,所以D不成立.2.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是()A.a>b2B.>C.2b【解析】选A.对于A,因为-11,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.3.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.【补偿训练】“>1”的一个充分不必要条件是()A.x>yB.x>y>0C.xy>0时,必有>1,而>1⇔>0x>y>0⇔或xy>0是>1的充分不必要条件.4.已知x≠0,则(x2+1)2与x4+x2+1的大小关系为.【解析】因为(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2,又x≠0,所以x2>0,所以(x2+1)2-(x4+x2+1)>0,故(x2+1)2>x4+x2+1.答案:(x2+1)2>x4+x2+15.已知a>b>0,c.【证明】因为c-d>0,因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以0<<,又因为e<0,所以>.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.设xax>a2C.x2a2>ax【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2.【光速解题】选B.本题可以利用特殊值法解答,由题意,可以令x=-2,a=-1,则x2=4,ax=2,a2=1,直接得出答案.2.已知a>b>c,则++的值()A.为正数B.为非正数C.为非负数D.不确定【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0,>0,<,所以+>0,所以++>0,所以++的值为正数.3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x0,故ax+by+cz>az+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx|b|D.ab0,所以a+b|b|不成立,C错误;因为b0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab”“<”或“=”).【解题指南】尝试利用作差法比较大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).因为x<1,所以x-1<0.又+>0,所以(x-1)<0.所以x3-1<2x2-2x.答案:<【补偿训练】若x∈R,则与的大小关系为.【解析】因为-==≤0.所以≤.答案:≤四、解答题7.(10分)(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
