微积分练习1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．()A．函数B．微积分C．解析几何D．极限思想2．历史上第一篇系统的微积分文献是()A．牛顿的《自然哲学的数学原理》B．牛顿的《流数法与无穷级数》C．牛顿的《流数简论》D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》3．微分学中的符号dx，dy等，积分符号∫的创立者是()A．莱布尼茨B．阿基米德C．高斯D．牛顿4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．()A．一B．二C．三D．四5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为2cC．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为2c6．函数f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C．2D.7．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，______________，_______________四类问题．8．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____________；＝________.(用数字作答)9．向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟m3，则当水深为5m时，水面上升的速度为________m/min.10．利用定积分的几何意义计算：(1)；(2).11．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：B5．答案：D解析： V(t)＝πR3(t)，∴c＝V′(t)＝4πR2(t)R′(t)．∴R′(t)＝. S(t)＝4πR2(t)，∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)×＝.6．答案：A解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：S＝×1×1＋＝＋＝.7．答案：瞬时速度问题切线问题函数的最值问题面积、体积、曲线长、重心和引力的计算8．答案：2－2解析： f(x)＝∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2.又根据导数几何意义可知＝f′(1)＝－2.9．答案：解析：设t分钟时，水深为h米，则由体积相等，得，所以h＝，h′(t)＝，当h＝5时，t＝，所以v＝h′(t)|t＝(m/min)．10．解：(1)如图①，等于图中阴影部分的面积，∴＝×22＝2π.(2)如图②，等于图中阴影部分的面积和，其中，在x轴下方的面积为负，∴＝0.11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f(x)，求其与横轴x及直线x＝p(p＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM(如下图阴影部分)的面积S.阿基米德是这样想的：设OP＝1，将OP分成n等份．曲边三角形OPM被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n，第k条带子的高是x＝处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是，各条矩形带子的面积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然...
