高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式-人教版高二全册数学试题VIP免费

预习课本P12～14，思考并完成下列问题第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式导数的计算(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x[点睛]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝1xlna1x0αxα－1cosx－sinxaxlnaex[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()(3)f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.()××√2．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x12，则y′＝12x12答案：D答案：C3．若y＝cos2π3，则y′＝()A．－32B．－12C．0D．124．函数y＝x在点14，12处切线的倾斜角为()A．π6B．π4C．π3D．3π4答案：B利用导数公式求函数导数[典例]求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x25.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝1xln5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝12x；(3)y＝xx；(4)y＝log13x.解：(1)y′＝(lgx)′＝lnxln10′＝1xln10.(2)y′＝12x′＝12xln12＝－12xln2.(3)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x12＝32x.(4)y′＝log13x′＝1xln13＝－1xln3.[典例]已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．利用导数公式求切线方程[解] y＝1x，∴y′＝－1x2.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．将得a＝12，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[活学活用]当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．解：设切点为A(x0，x20＋k)． y′＝2x，∴2x0＝1，x20＋k＝x0，∴x0＝12，k＝14，故当k＝14时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为12，12.导数的简单综合应用[典例](1)质点的运动方程是S＝sint，则质点在t＝π3时的速度为；质点运动的加速度为．(2)已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析](1)v(t)＝S′(t)＝cost，∴vπ3＝cosπ3＝12.即质点在t＝π3时的速度为12. v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.答案：12－sint(2)解...