高考大题规范练(六)概率与统计1．(2015·河北唐山一模)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个。(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个。记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望。解(1)设“甲恰得一个红包”为事件A，则P(A)＝C××＝。(2)X的所有可能值为0,5,10,15,20。P(X＝0)＝2×＝，P(X＝5)＝C××2＝，P(X＝10)＝2×＋2×＝，P(X＝15)＝C×2×＝，P(X＝20)＝3＝。X的分布列：X05101520PEX＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝。2．(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望。解(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}。由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2，因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝。故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝。(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B。于是P(X＝0)＝C03＝，P(X＝1)＝C12＝，P(X＝2)＝C21＝，P(X＝3)＝C30＝。故X的分布列为X0123PX的数学期望为EX＝3×＝。3．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因。解(1)X可能的取值为：10,20,100，－200。根据题意，有P(X＝10)＝C×1×2＝，P(X＝20)＝C×2×1＝，P(X＝100)＝C×3×0＝，P(X＝－200)＝C×0×3＝。所以X的分布列为X1020100－200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝。所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝。因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是。(3)X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－。这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大。4．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)。求T的均值。解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000。当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000。所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57000元。当且仅当120≤X≤150。由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少...
