【课时训练】数列求和一、选择题1．(2018南昌三模)数列1，3，5，7，…，(2n－1)，…的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－【答案】A【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.2．(2018江西八校联考)等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为()A．120B．70C．75D．100【答案】C【解析】因为＝n＋2，所以数列的前10项和为10×3＋＝75.3．(2018皖西七校联考)在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于()A．76B．78C．80D．82【答案】B【解析】由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.4．(2018福建泉州五中期末)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．0B．100C．－100D．10200【答案】B【解析】由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.5．(2018西安复习检测)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝()A．153B．210C．135D．120【答案】A【解析】令an＝2n－7≥0，解得n≥，∴从第4项开始大于0.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋＝153.6．(2018江西联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A．5B．6C．7D．16【答案】C【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1,－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.二、填空题17．(2018福州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．【答案】120【解析】 an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.8．(2018福州质量检测)在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．【答案】60【解析】由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.9．(2018大连模拟)若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为________．【答案】－【解析】由前四项，知数列{an}的通项公式为an＝，由＝，知Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝＝＝－.10．(2018江西统一检测)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．【答案】9【解析】 2Sn＝a＋an，①∴2Sn＋1＝a＋an＋1.②②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.又 {an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1.在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴an＝n，∴bn＝＝＝＝－.∴Tn＝1－.∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.三、解答题11．(2018重庆模拟)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1) {an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，＝2，∴an－1＝2·2n－1＝2n.∴an＝2n＋1.(2)bn＝nan＝n·2n＋n，故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，2∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1. 1＋2＋...
