(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2017·全国Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.2．(2017届辽宁省锦州市质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若AP＝3PB，求m的取值范围．解(1)由已知可知，椭圆C的焦距为2c，当y＝c时，|MN|＝|xM－xN|＝，由题意△MNF2的面积为|F1F2||MN|＝c|MN|＝＝，由已知得＝，∴b2＝1，∴a2＝4，∴椭圆C的标准方程为x2＋＝1.(2)显然m≠0，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，由得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.由AP＝3PB，得－x1＝3x2，即x1＝－3x2，∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0，∴10)，则PR＝λPT，RH＝λHT，令点H(x，y)，R(x1，y1)，T(x2，y2)，则即即由①×③，②×④，得因为R(x1，y1)，T(x2，y2)在椭圆＋＝1上，所以⑤×2＋⑥×3，得6x＋9y＝＝＝＝＝6，即2x＋3y－2＝0，所以点H在定直线2x＋3y－2＝0上．4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为(－2,0)，且椭圆C与直线y＝x＋3相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB＝－7？请说明理由．解(1)根据题意可知，a＝2，所以＋＝1.由椭圆C与直线y＝x＋3相切，联立得消去y可得(b2＋6)x2＋12x＋36－4b2＝0，Δ＝0，即(12)2－4(b2＋6)(36－4b2)＝0，解得b2＝0(舍)或3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)当过点P的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立化简得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，所以所以OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－－＋1＝＋1＝－2λ－3，所以当λ＝2时，OA·OB＋λPA·PB＝－7.当过点P的直线AB的斜率不存在时，即直线与y轴重合，此时A(0，)，B(0，－)，所以OA·OB＋λPA·PB＝－3＋λ[(－1)(－－1)]＝－3－2λ，所以当λ＝2时，OA·OB＋λPA·PB＝－7，综上所述，当λ＝2时，OA·OB＋λPA·PB＝－7.
