第一课时基本不等式[选题明细表]知识点、方法题号对基本不等式的理解及简单应用1,2,4,5,7,9利用基本不等式比较大小3,6,10利用基本不等式证明不等式8,11,12基础巩固1.下列结论正确的是(B)(A)当x>0且x≠1时,lgx+≥2(B)当x>0时,+≥2(C)当x≥2时,x+的最小值为2(D)当02x1(C)≤1(D)x+≥4解析:对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2+1≥1,所以≤1成立.故选C.3.(2019·浙江宁波高二检测)四个不相等的正数,a,b,c,d成等差数列,则(A)(A)>(B)<(C)=(D)≤解析:因为a,b,c,d成等差数列,则a+d=b+c,又因为a,b,c,d是正数且不相等,所以b+c>2,故>.故选A.4.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是(B)(A)+<1(B)+≥1(C)+<2(D)+≥2解析:因为ab≤()2≤()2=4,所以+≥2≥2=1.故选B.5.若a+b=1,则恒有(A)(A)ab≤(B)ab≥(C)a2b2≤16(D)以上均不正确解析:因为a+b=1>0,所以a,b中至少有一个为正数.故当a,b中有一个是负数或0时,2显然有ab≤0<;当a,b均为正数时,有1=a+b≥2,所以ab≤.故选A.6.(2019·唐山高二检测)设正数a,使a2+a-2>0成立,若t>0,则logatloga(填“>”“≥”“≤”或“<”).解析:因为a2+a-2>0,所以a<-2或a>1,又a>0,所以a>1,所以函数y=logax单调递增.因为t>0,所以≥,所以loga≥loga=logat.答案:≤7.(2019·长春高二检测)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④+≥2,对满足条件的a,b恒成立的是(填写序号).解析:因为ab≤()2=1,所以①正确;因为(+)2=a+b+2=2+2≤2+a+b=4,故②不正确;a2+b2≥=2,所以③正确;+==≥2,所以④正确.答案:①③④8.(2019·无锡高二检测)已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.3证明:由b2+c2≥2bc,a>0,得a(b2+c2)≥2abc.同理b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc.因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”,从而a(b2+c2)≥2abc,b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc三式也不能全取“=”.所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.能力提升9.下列函数中,最小值为4的函数是(C)(A)y=x+(B)y=sinx+(C)y=ex+4e-x(D)y=log3x+logx81解析:A,D不能保证是两正数之和,sinx取不到2,只有C项满足两项均为正,当且仅当x=ln2时等号成立.故选C.10.已知a,b,c都是非负实数,试比较++与(a+b+c)的大小.解:因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以≥(a+b),同理≥(b+c),≥(c+a),所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)],4即++≥(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.11.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1.求证:(a+)2+(b+)2≥.证明:因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2,≤,所以≥4.因为≤,所以≥()2.所以(a+)2+(b+)2≥2[]2=≥≥.所以(a+)2+(b+)2≥.当且仅当a=b=时,等号成立.探究创新12.已知a>b>c,求证:+≥.证明:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c=a-b+b-c>0,所以所证不等式等价于(+)(a-c)≥4.5又(+)(a-c)=+=+=2++≥2+2=4.当且仅当=时,等号成立,所以+≥.6
