4.8正弦定理和余弦定理应用举例A组基础题组1.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m、50m,BD为水平线,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°答案B依题意可得AD=20√10(m),AC=30√5(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(30√5)2+(20√10)2-5022×30√5×20√10=60006000√2=√22.又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.2.(2018杭州调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为()A.9hB.10hC.11hD.12h答案B记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置,在△OAB中,OA=400km,AB=20tkm,∠OAB=45°,根据余弦定理得4002+400t2-2×20t×400×√22≤3002,即t2-20√2t+175≤0,解得10√2-5≤t≤10√2+5,所以所求时间为10√2+5-10√2+5=10(h),故选B.3.(2018绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当△ABC面积最大时,腰AB的长为()A.6√3B.6√5C.4√3D.4√5答案D如图所示,设D为AC的中点,1由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,在△ABD中,BD2=b2+(b2)2-2×b×b2×2b2-a22b2,可得2a2+b2=144,设BC边上的高为h,所以S=12ah=12a√b2-(a2)2=12a√144-9a24=12√a2(144-9a24)=12√-94(a2-32)2+2304,所以,当a2=32时,S有最大值,此时,b2=144-2a2=80,解得b=4√5,即腰长AB=4√5.故选D.4.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③答案D对于①③,由三角形内角和定理和正弦定理可求得A,B间的距离;对于②,由余弦定理可求得A,B间的距离.5.(2018嘉兴高三模拟)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20√2海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=45.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为海里/时.2答案4√85解析因为cosθ=45,0°<θ<45°,所以sinθ=35,则cos∠BAC=cos(45°-θ)=√22×45+√22×35=7√210,在△ABC中,BC2=800+100-2×20√2×10×7√210=340,所以BC=2√85海里,所以该货船的船速为4√85海里/时.6.(2018福州综合质量检测)在距离塔底分别为80m,160m,240m的同一水平面上的A,B,C处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为.答案80m解析设塔高为hm.依题意得,tanα=h80,tanβ=h160,tanγ=h240.因为α+β+γ=90°,所以tan(α+β)tanγ=tan(90°-γ)tanγ=sin(90°-γ)sinγcos(90°-γ)cosγ=cosγsinγsinγcosγ=1,所以tanα+tanβ1-tanαtanβ·tanγ=1,所以h80+h1601-h80·h160·h240=1,解得h=80,所以塔高为80m.7.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,√3≈1.73)答案60解析不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46m,于是BD=AD·tan(90°-67°)=46×cos67°sin67°≈19.5m,DC=AD·tan(90°-30°)=46×√3≈79.6m,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60m.38.某观察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C、D的距离为21千米,则此人还需走多少千米才能到达A城?解析设AD=x千米,AC=y千米, ∠BAC=20°+40°=60°,∴在△ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos60°=212,即x2+y2-xy=441.①而在△ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos60°=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.②②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去).故此人还需走15千米才能到达A城.9.如图,在某港口A处获悉,其正东方向20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,此...
