湖北省荆州中学基础题题库六立体几何501.在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点．（1）证明∥；（2）求异面直线MN与所成角的余弦值．解析：（1） ∥∥，＝＝，∴是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．（2）由（1），是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有．502.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．（1）四边形EFGH是______________；（2）当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；（3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；（4）当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．解析：（1）由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥BD，且AC＝BD；503.借助两支铅笔，试研究以下问题：（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9－17（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已用心爱心专心116号编辑知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?解析：（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）．（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．504.如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．解析：（1）用反证法．假设EF与PC共面于，则直线PE、CF共面，则A∈，B∈，于是P与A、B、C共面于，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线．（2）取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC∴∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角， PC⊥AB，∴EG⊥GF，即∠EGF＝90°． PC＝AB＝2，∴EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°．（3）由（2）知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴EF＝505.如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD—中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．用心爱心专心116号编辑图9－19（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线EF与所成角的大小；（3）求异面直线EF与所成角的正切值；（4）求异面直线EF与的距离．解析：（1） ∥AC，∴与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△， ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形． O是底边AC的中点，∴，故与所成的角是90°．（2） E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD，又 ∥AC，∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角． 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF与所成的角为90°（3） EF∥BD，∴为异面直线EF与所成的角． 四边形是正方形，∴，∴在Rt△中，，＝＝，∴，即EF与所成角的正切值为．用心爱心专心116号编辑（4） EF∥BD，BD⊥AC，∴EF⊥AC，设交点为G． ⊥AC（由（1）知）于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴，即EF与间的距离为．506.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．（把符合要求的命题序号都填上）...
