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湖北省荆州中学基础题题库(六)(数学-立体几何有详细答案)VIP免费

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湖北省荆州中学基础题题库六立体几何501.在长方体ABCD-中,AB=2,,M、N分别是AD、DC的中点.(1)证明∥;(2)求异面直线MN与所成角的余弦值.解析:(1) ∥∥,==,∴是平行四边形,∴AC∥,又MN∥AC,因此,MN∥.(2)由(1),是异面直线MN与所成角.在△中,,.于是有.502.在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,得到四边形EFGH.(1)四边形EFGH是______________;(2)当对角线AC=BD时,四边形EFGH是______________;(3)当对角线满足条件______________时,四边形EFGH是矩形;(4)当对角线AC、BD满足条件_______时,四边形EFGH是正方形.解析:(1)由三角形中位线定理可知EFAC,HGAC,于是EFHG,故四边形EFGH为平行四边形;(2)当AC=BD时,由EF=AC,EH=BD,得EF=EH,即平行四边形EFGH的邻边相等,故平行四边形EFGH为菱形;(3)要使平行四边形EFGH为矩形,需且只须一个角是直角.如需EF⊥FG,则AC⊥BD;(4)要使平行四边形EFGH为正方形,需且只须AC⊥BD,且AC=BD;503.借助两支铅笔,试研究以下问题:(1)在平面内,过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9-17(2)在一个平面内,过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?(3)在一个平面内,与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已用心爱心专心116号编辑知直线的位置关系如何?在空间,与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?解析:(1)在一个平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;在空间也如此.(2)在一个平面内,过一点(该点可在直线上,也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线;在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直,这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直).(3)在一个平面内,与已知直线成60°角的直线有无数条,这无数条直线平行,且都与已知直线相交;在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角,它们与已知直线位置关系是相交或异面.504.如图9-18,已知P为△ABC所在平面外一点,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点.(1)求证:EF与PC是异面直线;(2)EF与PC所成的角;(3)线段EF的长.解析:(1)用反证法.假设EF与PC共面于,则直线PE、CF共面,则A∈,B∈,于是P与A、B、C共面于,这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾.故EF与PC是异面直线.(2)取PB中点G,连结EG、FG,由E、F分别是线段PA、BC中点,有EGAB,GFPC∴∠GFE为异面直线EF与PC所成的角,∠EGF是异面直线PC与AB所成的角, PC⊥AB,∴EG⊥GF,即∠EGF=90°. PC=AB=2,∴EG=1,GF=1,故△EFG是等腰直角三角形,∴∠GFE=45°,即EF与PC所成的角是45°.(3)由(2)知Rt△EGF中EG=1,GF=1,∠EGF=90°,∴EF=505.如图9-19,在棱长为a的正方体ABCD—中,O是AC、BD的交点,E、F分别是AB与AD的中点.用心爱心专心116号编辑图9-19(1)求异面直线与所成角的大小;(2)求异面直线EF与所成角的大小;(3)求异面直线EF与所成角的正切值;(4)求异面直线EF与的距离.解析:(1) ∥AC,∴与AC所成的锐角或直角就是与所成的角,连结、,在△和△, =,,,∴△≌△,∴.∴△是等腰三角形. O是底边AC的中点,∴,故与所成的角是90°.(2) E、F分别是AB、AD中点,∴EF∥BD,又 ∥AC,∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角. 四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∴EF与所成的角为90°(3) EF∥BD,∴为异面直线EF与所成的角. 四边形是正方形,∴,∴在Rt△中,,==,∴,即EF与所成角的正切值为.用心爱心专心116号编辑(4) EF∥BD,BD⊥AC,∴EF⊥AC,设交点为G. ⊥AC(由(1)知)于O,则AC是异面直线EF与的公垂线,OG的长即为EF与间的距离,由于G是OA中点,O是AC中点,且,∴,即EF与间的距离为.506.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________.(把符合要求的命题序号都填上)...

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