课后提升作业二十二平面向量数量积的物理背景及其含义(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·天水高一检测)若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为()A.2B.C.2D.4【解析】选C.a在b方向上的投影为|a|cos
=4×cos30°=2.2.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选B.因为=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.3.若等边三角形ABC的边长为1,则|-2|=()A.1B.C.2D.【解析】选D.因为(-2)2=-4·+4=12-4×1×1×cos60°+4×12=3.所以|-2|=.4.设a,b,c是三个向量,有下列命题:①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③非零向量a,b反向⇔a·b=-|a||b|;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③当a,b反向时,a·b=-|a||b|成立,反之,当a·b=-|a||b|时,a,b反向,故命题③正确.④中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即④正确.5.(2015·重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解题指南】直接利用向量的数量积运算即可求出向量的夹角.【解析】选C.设向量a,b的夹角为θ,由|b|=4及a⊥(2a+b),得a·(2a+b)=2|a|2+|a||b|cosθ=2|a|2+4|a|2cosθ=0,解得cosθ=-,所以θ=.6.(2016·烟台高一检测)若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12【解析】选C.因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72.所以|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72.所以|a|2-2|a|-24=0.又因为|a|≥0,所以|a|=6.【补偿训练】若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=()A.2B.C.1D.【解析】选B.由题意得即可得|b|2=2|a|2,又|a|=1.所以|b|=.7.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是()A.·B.·C.·D.·【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0;与的夹角是,故其数量积小于零;设正六边形的边长是a,则·=||||cos30°=a2,·=||||cos60°=a2.8.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a+b与a-b的夹角是()A.B.C.D.【解析】选D.因为|a+b|=|a-b|,所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以a·b=0.又因为|a+b|=2|a|,所以|a|2+2a·b+|b|2=4|a|2,所以|b|2=3|a|2.设a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ====-,又因为θ∈[0,π],所以θ=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·江苏高考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.【解析】令=a,=b,则=-b,=2a,=3a,则=3a-b,=3a+b,=2a-b,=2a+b,=a-b,=a+b,则·=9a2-b2,·=a2-b2,·=4a2-b2,由·=4,·=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=,b2=,因此·=4a2-b2==.答案:10.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为.【解析】在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又=+,所以·=(+)·=-·+·-=||2+||||cos60°-||2=1+×||-||2=1.所以||=0,又||≠0,所以||=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·温州高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|.(2)求向量a在向量a+b方向上的投影.【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.因为|a|=4,|b|=3,所以a·b=-6,所以|a+b|===.(2)因为a·(a+b)=|a|2+a·b=42-6=10,所以向量a在向量a+b方向上的投影为==.12.已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解题指南】(1)利用|a|=求向量的模.(2)用向量,,表示向量,,然后用数量积的定义和运算律求值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为,所以·=||||cos=-,所以|+|=.==1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点,所以∠AOC=∠BOC=,所以·=·=,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=--+1=.【能力挑战题】已知非零向量a,b,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.【解析】由向量垂直得即化简得所以cos==,所以a与b的夹角为.
